Куб и пирамида

[Гост]

Може ли някой да ми реши тези задачки, като цяло геометрията ми е трудна.Ще бъда много благодарна за всеки един отговор

15127432_944318459046577_423785406_o.jpg (86.87 KiB) Прегледано 290 пъти

15127432_944318459046577_423785406_o.jpg (86.87 KiB) Прегледано 290 пъти

[Davids]

За съжаление не мога да приложа чертеж, но ще се опитам да го карам максимално детайлно със словесните описания
2. Зад.:
Първо ще отбележим, че числата [tex]3, 4, 5[/tex] като страни на триъгълник образуват питагорова тройка, следователно основата е правоъгълен триъгълник с хипотенуза [tex]AB = 5[/tex]. Оттам знаем, че медианата в правоъгълен триъгълник е равна на половината от основата, т.е. [tex]CD = \frac{5}{2}[/tex]. Сега ще намерим другите околни ръбове по питагорова теорема съответно в правоъгълните триъгълници [tex]\Delta ACM[/tex] и [tex]\Delta BCM[/tex], където двата ръба са хипотенузи. И така:
[tex]MA = \sqrt{CM^2 + AC^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}cm[/tex]
[tex]MB = \sqrt{CM^2 + BC^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}cm[/tex]
Аналогично ще намерим [tex]MD[/tex] по питагорова теорема от правоъгълния [tex]\Delta MCD[/tex], където е хипотенуза:
[tex]MD = \sqrt{DC^2 + MC^2} = {25 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5}{2}\sqrt{5}cm[/tex]

3. Зад.:
Ползваме се почти изцяло от общите знания за равностранния триъгълник, за да намерим елементите на основата:
[tex]CH = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2}.2\sqrt{3} = 3cm[/tex]
[tex]B = \frac{a.CH}{2} = 3\sqrt{3}cm[/tex]
Тъй като знаем, че пресечната точка на симетралите в равностранния триъгълник (центъра на описаната окръжност) съвпада с медицентъра му, то проекцията на върха на правилната пирамида също съвпада с него. Следователно, ако кръстим медицентъра (и център на всичко друго ) [tex]G[/tex], то [tex]GH = 1[/tex] и [tex]MG[/tex] е перпендикулярна на [tex](ABC)[/tex].
По питагорова теорема ще намерим радиуса на описаната окръжност [tex]R = AG = \sqrt{AH^2 + GH^2} = 2cm[/tex]
Тъй околния ръб ще намерим по питагорова теорема за [tex]\Delta AGM[/tex]:
[tex]AM = \sqrt{AG^2 + MG^2} = \sqrt{4 + 5} = 3cm[/tex] е околният ръб.
Апотемата вече намираме лесно по питагорова теорема от [tex]\Delta MHA[/tex]:
[tex]MH = k = \sqrt{AM^2 - AH^2} = \sqrt{6}cm[/tex]
Околната повърхнина намираме по формулата:
[tex]S_{ok} = \frac{p.k}{2} = \frac{6\sqrt{3}.\sqrt{6}}{2} = 9\sqrt{2}cm^2[/tex]
Пълната повърхнина намираме, събирайки околната с тази на основата:
[tex]S_1 = S_{ok} + B = 9\sqrt{2} + 3\sqrt{3}[/tex]cm^2
И обема намираме по формулата:
[tex]V = \frac{B.h}{3} = \frac{3\sqrt{3}.3}{3} = 3\sqrt{3}cm^3[/tex]

[Davids]

4. Зад.:
Височината (респективно ъглополовяща, медиана, симетрала) на равностранен триъгълник намираме по формулата (или по питагорова теорема де..):
[tex]CH = \frac{\sqrt{3}}{2}.a = 3\sqrt{3}cm[/tex]
По-горе обясних защо върхът на пирамидата се проектира върху медицентъра (G), следователно можем да направим питагорова теорема за [tex]\Delta MGC[/tex]:
[tex]6^2 = h^2 + (2\sqrt{3})^2 \Rightarrow h = 2\sqrt{6}[/tex]
Апотемата на околната стена няма нужда да търсим, тъй като пирамидата е изградена от еднакви равностранни триъгълници и тя реално е равна на височината на основата - [tex]3\sqrt{3}cm[/tex]. Следователно намираме лицето на основата:
[tex]B = \frac{\sqrt{3}}{4}.a^2 = 9\sqrt{3}[/tex]
С което околната повърхнина е равна на [tex]S_{ok} = 3B = 27\sqrt{3}cm^2[/tex], а пълната - [tex]S_1 = 4B = 36\sqrt{3}cm^2[/tex]
Обема намираме респективно: [tex]V = \frac{Bh}{3} = \frac{9\sqrt{3}.2\sqrt{6}}{3} = 18\sqrt{2}cm^3[/tex]