Задачи от матури

[Гост]

Задача 1: Ако числото 2 е с 20% по-малко от числото x, то числото 2+x е равно на?

Задача 2: При измерване на ръста на група служители се установило, че средната височина на мъжете е 180 cm, а на жените –165 cm. Намерете средния ръст на всички служители, ако е известно, че жените са с 50% повече от мъжете.

Задача 3: Намерете периметъра на \DeltaABC със страни a,b,c, ако a-c=c-b=2 и един от ъглите на триъгълника е 120^\circ.

Задача 4: Точката О е център на вписаната в \Delta ABC окръжност. Ако AB=6cm и ъгъл ACB=120[tex]^\circ[/tex], дължината на радиуса на
описаната около \DeltaAOB окръжност е равна на?

Задача 5: Катинар е заключен с парола, която се състои от 5 различни символа, измежду цифрите 0, 1, 2 и 3и буквите A, B, C и D. Ако знаете, че в паролата участват 3 различни букви на първо, трето и пето място, колко най-много опита трябва да направите, за да отключите катинара?

[Davids]

1. [tex]2 = x - \frac{20}{100}x = \frac{4}{5}x[/tex]
[tex]\Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2,5[/tex]
[tex]\Rightarrow 2 + x = 2 + 2,5 = 4,5[/tex]

2. Броя на мъжете означаваме с [tex]n[/tex], а този на жените ще е [tex]n + 50%n = \frac{3}{2}n[/tex].
Съответно общият ръст на мъжете ще е [tex]x[/tex], a на жените - [tex]y[/tex]. Знаем, че среден ръст намираме чрез средно аритметично, т.е. общият ръст на мъжете делим на броя им. И така: [tex]\frac{x}{n} = 180[/tex]; а за жените: [tex]\frac{y}{\frac{3}{2}n} = 165 \Rightarrow \frac{y}{n} = \frac{165.3}{2}[/tex]
Да обобщим, че търсим среден ръст на всички служители, тоест общият сбор от ръстовете върху общия брой: [tex]\frac{x+y}{\frac{5}{2}n} = ? = p[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{x+y}{n} = \frac{5}{2}p[/tex]
Събираме горе изразените тъждества:
[tex]\frac{5}{2}p = \frac{x+y}{n} = 180 + \frac{165.3}{2} = \frac{360 + 165.3}{2} = \frac{855}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow p = \frac{855}{2}.\frac{2}{5} = 171cm[/tex]
Не знам дали е най-оптималния начин, но е чисто логически последователен и с минимални знания можеш да го измъдриш.

[Davids]

3. Щом [tex]a-c = c-b = 2[/tex], то [tex]a[/tex] е най голямата страна и е срещу ъгъла 120 градуса и [tex]a = c + 2; b = c-2[/tex]
Правим косинусова теорема, според която:
[tex](c+2)^2 = (c-2)^2 + c^2 - 2c(c-2).cos120^{\circ}[/tex]
Но [tex]cos120 = cos(180-60) = -cos60 = -\frac{1}{2}[/tex]
Заместваме и решаваме, след което получаваме
[tex]c = 5[/tex]
[tex]\Rightarrow a = 7, b = 3[/tex]

4. Построяваме окръжността с център [tex]I[/tex] около [tex]\Delta ABO[/tex] и очевидно, щом е тъпоъгълен триъгълникът, той ще лежи изцяло в едната й половина. Имаме [tex]\angle ACB = 120 \Rightarrow \angle AOB = 90 + \frac{\angle ACB}{2} = 150^{\circ}[/tex]
И щом [tex]\angle AOB = 150^{\circ} \Rightarrow \overline{AB} = 300^{\circ} \Rightarrow \overline{AOB} = \angle AIB = 60°[/tex]
Но понеже [tex]IA = IB = R[/tex], то [tex]\Delta AIВ[/tex] е равностранен и [tex]R = AB = 6cm[/tex]

[Davids]

5 Имаме три позиции с букви и две с цифри. Начините, по които можем да подредим 3 от 4 цифри са [tex]V^3_4 = 4.3.2 = 24[/tex] на брой. За всеки от тях обаче можем да запълним останалите две места с по една от 4 цифри по [tex]V^2_4 = 4.3 = 12[/tex] начина. И така общо получаваме [tex]24.12 = 288[/tex] опита най-много, тъй като символите са различни.