Функции

[Гост]

Да се докаже, че sin x<x при x>0 и sin x>x при x<0.

[Knowledge Greedy]

Образуваме [tex]\varphi(x)=sinx-x[/tex]
[tex]\varphi'(x)=cosx-1\le 0[/tex]
Равенство става тогава и само тогава, когато [tex]x=0[/tex] - от тази точка започва намаляването [tex]^{\ast}[/tex] на функцията [tex]\varphi(x)[/tex].
Понеже [tex]\varphi(0)=0[/tex], при [tex]x<0 \,\ \Rightarrow \,\ \varphi(x)>\varphi(0)[/tex], т.е. [tex]sinx>x[/tex] - т.к.т.д.
Обратно - при [tex]x>0 \,\ \Rightarrow \,\ \varphi(x)<\varphi(0)[/tex], т.е. [tex]sinx<x[/tex]
__________
[tex]{\ast}[/tex] Функцията [tex]\varphi(x)[/tex] е строго монотонно намаляваща в дефиниционното си множество тогава и само тогава, когато [tex]\forall x_1 \,\ и \,\ \forall x_2[/tex]
[tex]x_1>x_2 \,\ \Leftrightarrow \,\ \varphi(x_1)<\varphi(x_2)[/tex] [tex]^{\ast}[/tex]