Екстремална задача

[Гост]

Здравейте, трябва ми помощ за следната задача: В окръжност с радиус R e вписан трапецът ABCD, като АВ=2R.Намерете дължината на отсечката CD, когато лицето на трапеца е най-голямо и намерете стойността на това най-голямо лице. Докарвам я до някъде, но не съм сигурна дали вървя в правилната посока и ще съм ви благодарна ако ударите по едно рамо!

[KOPMOPAH]

Извинявам се, че нямам чертеж, ама задачата се решава и по преразказ по картинка

Отбелязваш $CD$ с $x$. Не е трудно да се получи височината на трапеца, която е $\sqrt{R^2-\frac{x^2}{4}}$. Тогава за лицето $S$ имаме $S=\frac{2R+x}{2}\sqrt{R^2-\frac{x^2}{4}}=\frac{1}{4}(2R+x)\sqrt{4R^2-x}$. Разглеждаме лицето като функция на $x$. Щом като се търси екстремум, намираме първата производна (с малко мъка) $S'(x)=\frac{1}{4}\left(\sqrt{4R^2-x^2}-(R+\frac{x}{2})\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{4R^2-x^2}}2x\right )$, приравняваме я на $0$ (за да е екстремум) и след преработка се стига до квадратното уравнение $x^2+Rx-2R^2=0$, което има корени $x_1=R$ и $x_2=-2R$ ... нататък е ясно