Задача от перпендикулярни равнини

[Гост]

Помогнете за тези задача:
Даден е куб АВСДА1В1С1Д1. Докажете, че равнините (АВС1) и (А1ВС) са перпендикулярни.

[Davids]

Ако проследиш, че диагоналите на едната двойка срещуположни околни стени лежи на двете равнини, задачата ти ще се улесни

[Knowledge Greedy]

Пресечницата на двете равнини [tex]\left (ABC_1 \right )[/tex] и [tex]\left ( A_1BC \right )[/tex] е правата [tex]BD_1[/tex]
Спускаме перпендикуляри [tex]C_1N[/tex] и [tex]A_1N[/tex] към [tex]BD_1[/tex] (единият в първата равнина, другият - във втората).
Те са с обща пета [tex]N[/tex] поради това, че [tex]\Delta BD_1C_1 \cong \Delta BD_1A_1[/tex]
Полученият ъгъл [tex]\angle C_1NA_1[/tex] е линейният ъгъл на ъгъла между двете равнини.
Като приложим косинусова теорема за [tex]\Delta C_1NA_1[/tex] получаваме, че [tex]cos \angle C_1NA_1=-\frac{1}{2}[/tex]
__________
Втори подход (част от него се съдържа в идеята на Davids » Вто Дек 06, 2016 8:08 am - само че за диагонали на съседни стени на куба).
Определяме ъгъла между две нормали към двете равнини.
Такива са диагоналът [tex]B_1C[/tex] към първата и [tex]B_1A[/tex] - към към втората. Но ъгълът между тях е [tex]60^\circ[/tex] поради това, че като отсечки [tex]B_1C[/tex] и [tex]B_1A[/tex] са страни на равностранен триъгълник [tex]\Delta ACB_1[/tex].

[Гост]

Е, то така излиза, че двете равнини не са перпендикулярни, а сключват двустенен ъгъл 60 градуса.

[Knowledge Greedy]

Да, така е.

[Гост]

Много благодаря за отделеното време, но се учудвам как е възможно - все пак това е задача от учебник по математика за 12 клас. Възможно ли е да е грешно съставена?

[Гост]

Възможно е. И съставителите са хора.
Човешко е да се греши