Лице на триъгълник

[Гост]

Даден е [tex]\Delta[/tex]ABC с [tex]\angle[/tex]ACB=[tex]\gamma[/tex] . Вписаната в триъгълника окръжност допира AB в точка T, като AT=m и BT=n.
Да се намери лицето на [tex]\Delta[/tex]ABC

[Davids]

Аз бих предизвикал заинтересованите да изразят радиуса на вписаната окръжност чрез дадените елементи, защото аз стигнах до това, въпреки че по никакъв начин не е нужно

[Nathi123]

k(O,r)- вписана в триъг. АВС и се допира до АВ в т. Т.Нека допирните точки на к с АС и ВС са съответно Р и Q. Тогава AT=AP=m; BT = BQ = n и нека CP=CQ = x.От триъг COQ [tex]\Rightarrow \frac{CQ}{OQ}=cotg\frac{\gamma}{2}\Rightarrow \frac{x}{r}=cotg\frac{\gamma}{2}[/tex].
[tex]S_{ABC}=S=\frac{1}{2}AC.BCsin\gamma=\frac{1}{2}(m+x)(n+x)sin\gamma=\frac{1}{2}(mn+x(m+n+x))sin\gamma[/tex].
[tex]S=pr=(m+n+x)r\Rightarrow m+n+x=\frac{S}{r}\Rightarrow2 S=nmsin\gamma + x.\frac{S}{r}sin\gamma\Rightarrow2 S=mnsin\gamma+Ssin\gamma cotg\frac{\gamma}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2S-2Scos^{2}\frac{\gamma}{2}=mnsin\gamma\Leftrightarrow S=mncotg\frac{\gamma}{2}[/tex]
В горните преобразувания изп ,че [tex]1-cos^{2}\frac{\gamma}{2} = sin\frac{\gamma}{2} ; sin\gamma =2sin\frac{\gamma}{2} cos\frac{\gamma}{2};
cotg\frac{\gamma}{2} =\frac{cos\frac{\gamma}{2} }{sin\frac{\gamma}{2} }.[/tex]

[Davids]

k(O,r)- вписана в триъг. АВС и се допира до АВ в т. Т.Нека допирните точки на к с АС и ВС са съответно Р и Q. Тогава AT=AP=m; BT = BQ = n и нека CP=CQ = x.От триъг COQ [tex]\Rightarrow \frac{CQ}{OQ}=cotg\frac{\gamma}{2}\Rightarrow \frac{x}{r}=cotg\frac{\gamma}{2}[/tex].
[tex]S_{ABC}=S=\frac{1}{2}AC.BCsin\gamma=\frac{1}{2}(m+x)(n+x)sin\gamma=\frac{1}{2}(mn+x(m+n+x))sin\gamma[/tex].
[tex]S=pr=(m+n+x)r\Rightarrow m+n+x=\frac{S}{r}\Rightarrow2 S=nmsin\gamma + x.\frac{S}{r}sin\gamma\Rightarrow2 S=mnsin\gamma+Ssin\gamma cotg\frac{\gamma}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2S-2Scos^{2}\frac{\gamma}{2}=mnsin\gamma\Leftrightarrow S=mncotg\frac{\gamma}{2}[/tex]
В горните преобразувания изп ,че [tex]1-cos^{2}\frac{\gamma}{2} = sin\frac{\gamma}{2} ; sin\gamma =2sin\frac{\gamma}{2} cos\frac{\gamma}{2};
cotg\frac{\gamma}{2} =\frac{cos\frac{\gamma}{2} }{sin\frac{\gamma}{2} }.[/tex]

От чисто теоретическо любопитство относно представянето на отговора - според нормите математически и изискванията (по олимпиади примерно), позволено ли е при зададено условие да изразим чрез $\gamma$ примерно, да изразяваме чрез $2\gamma$, $\frac{\gamma}{2}$ или $\gamma + 30$ и т.н. или е задължително винаги да свеждаме до тригонометрични функции на $\gamma$ само?
Благодаря за отговора, иначе решението е много хубаво

[Nathi123]

В условието на задачата ъгъл АСВ =[tex]\gamma \Rightarrow[/tex] e известен ,значи известни са и [tex]2\gamma , \frac{\gamma}{2},\gamma + 30^\circ ,...[/tex]. Задачата е зададена по този начин ,за да не я решаваме като отделни задачи при [tex]\gamma =60^\circ , 30^\circ, 90^\circ ,120^\circ, ...[/tex] Впрочем интересна задача се получава при [tex]\gamma =90^\circ[/tex] ,която е дадена като отделна задача в сборника от който е и горната задача.