Триъгълник

[Гост]

Дължината на радиуса на описаната около равнобедрен
триъгълник ABC (AC BC = ) окръжност е 3 [tex]\sqrt{3}[/tex] cm, а
дължината на височината към основата AB е 4 [tex]\sqrt{3}[/tex] cm.
Намерете дължината на бедрото на триъгълника.

[Parasyte]

Прилага се синусова теорема и се съобразява, че синус на ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на срещуположната му страна и хипотенузата.

[Davids]

Предлагам нетригонометричния начин, всичко със зависимости в правоъгълен триъгълник.
Начертаваме окръжността с диаметър $CD$, където точка $D$ лежи на продължението на височината към основата $CH$.
За този диаметър знаем, че е $CD = 2.r = 6\sqrt{3}$, и тъй като $CH = 4\sqrt{3}$, то $HD = 2\sqrt{3}$.
Означавайки половината от основата на равнобедрения триъгълник $HB = a$, в правоъгълния $\Delta CDB$ ползваме зависимост за височината и ортогоналните проекции на катетите върху хипотенузата, откъдето получаваме, че:
$a^2 = 4\sqrt{3}.2\sqrt{3} = 24$
Сега по питагорова теорема за правоъгълния $\Delta CHB$, имаме за бедрото $b$, че:
$b^2 = CH^2 + a^2 = 16.3 + 24 = 72$
$\Rightarrow b = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$