Стереометрия

[Гост]

В прав кръгов цилиндър е прекарана равнина успоредна на оста му, която отсича от окръжността на основата дъга от 60 градуса. Оста на цилиндъра е 4 см, а разстоянието до секущата равнина е 2 см. Колко е обемът V?

[Nathi123]

Нека ABCD- осно сечение на цилиндъра; [tex]OO_{1 }[/tex] - оста на цилиндъра;равнината успоредна на оста да пресича основата в отсечка PQ; [tex]\Rightarrow \angle POQ = 60 ^\circ[/tex] ( централен ъгъл) [tex]\Rightarrow\Delta POQ[/tex] равносранен.[tex]\Rightarrow OQ=OP=PQ=r[/tex] -радиус на цилиндъра.
[tex]PQ\cap AB=M; AB=2r; AB\bot[/tex] на равнината на усп. на оста сечение.[tex]\Rightarrow OM=2; AM=r+2; MB=r-2\Rightarrow AM.MB=PM^{2}[/tex]
(секущи в окръжност)[tex]\Rightarrow (r+2)(r-2)=\frac{r^{2}}{4}\Leftrightarrow 3r^{2}=16\Leftrightarrow r^{2}=\frac{16}{3}\Rightarrow V=\pi\frac{16}{3}.4=\frac{64}{3}\pi[/tex].