Да се намери диаметърът на описаната окръжност на трапец

[Henz]

За трапеца [tex]ABCD[/tex] може да се опише и впише окръжност.Да се намери диаметърът на описаната окръжност,ако [tex]\angle BCD=120^\circ[/tex] ,а радиусът на вписаната окръжност е [tex]3[/tex]см.

[mathinvalidnik]

Първо някои пояснения
1.Щом може да се впише в в окръжност то следва,че той е равнобедрен
2.Щом в него поже да се впише окръжност то следва,че диаметърът на окръжността е равен на височината на трапеца!
3.От '2' следва,че сборът на срещуположните страни е равен (a+b=c+d,където a,b са основите)
4.Радиусът на описаната окръжност около ABCD е равен на радиусът на описаната окръжност около BDC понеже,фактически тя е една и съща

От [tex]\triangle AHD (\angle H = 90^\circ) => \frac{6}{sin60 }=\frac{AH}{sin30 } ; \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2 } }=\frac{AH}{\frac{1}{2 } } => \fbox{AH=2\sqrt{3}}[/tex]

[tex]AD^{2}=AH^{2}+DH^{2}=12+36=48 => \fbox {AD=4\sqrt{3}=BC}[/tex] [tex]AD+BC=AB+DC=8.\sqrt{3}[/tex]

[tex]AH=BL => AB=DC+2.AH=DC+4\sqrt{3}[/tex] (1) , [tex]AB+CD=8\sqrt{3}[/tex] (2)
[tex]\begin{tabular}{|l}AB=DC+4.sqrt{3}\\AB+CD=8\sqrt{3} -- > AB=8\sqrt{3}-CD\end{tabular}[/tex]

=> ОТ (1) и (2) [tex]\fbox{DC=2\sqrt{3}}[/tex] => Разгл. [tex]\triangle BDC[/tex] [tex](DC=2\sqrt{3},BC=4\sqrt{3},\angle BCD= 120^\circ)[/tex]
От Косинусова теорема за [tex]\triangle BDC[/tex] намираме ,че [tex]\fbox{BD=6\sqrt{2}}[/tex]
[tex]S_{BDC}=\frac{4.\sqrt{3}.2\sqrt{3}.sin120}{2 }=6.\sqrt{3}[/tex]

[tex]6\sqrt{3}=\frac{BC.CD.BD}{4R }[/tex] => [tex]6\sqrt{3}.4R=4\sqrt{3}.2\sqrt{3}.6\sqrt{2}[/tex] => [tex]R=\frac{4\sqrt{3}.2\sqrt{3}.6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}.4 }= 2\sqrt{6}[/tex] => [tex]\fbox{d=2R=4\sqrt{6}}[/tex]

п.п Това е.ако има грешка в отговора сиг е от някакво неправилно пресмятане ,но по принцип това е начин .може да има и по кратък,но не се сещам в момента

[Henz]

Мерси,много хубаво си я обяснил. Близко бях и аз да я реша ама не се сетих да направя тая система от която да изкарам DC.