функция

[Гост]

При а=? НГС на функцията f(x)=2ax^{2} +4x-a e 3

[Knowledge Greedy]

[tex]f(x)=2ax^{2} +4x-a[/tex]
[tex]f'(x)=4ax +4[/tex]
[tex]f'(x)=0 \,\ \Leftrightarrow \,\ 4ax +4=0 \,\ x=-\frac{1}{a}[/tex]
[tex]f''(x)=4a<0 \Leftrightarrow f_{max}[/tex] или още НГС, следователно [tex]a<0[/tex]

[tex]f_{max}=f\left (-\frac{1}{a} \right )=2a.\left (-\frac{1}{a} \right )^2+4.\left (-\frac{1}{a} \right )-a=-a-\frac{2}{a}[/tex]

[tex]f_{max}=-a-\frac{2}{a}=3[/tex] (според условието)

[tex]a^2+3a+2=0[/tex] има два отрицателни корена, следователно
отговор: [tex]a=-1[/tex] и [tex]a=-2[/tex]

[Гост]

много се извинявам , но може ли да ми я обясните без производни защото не сме ги учили , учебника ни е ЗП

[Knowledge Greedy]

[tex]f(x)=2ax^2+4x−a[/tex]

Отделяме точен квадрат
[tex]f(x)=2a\left ( x^2+\frac{4}{2a}x \right )−a[/tex]

[tex]f(x)=2a\left ( x^2+2x\frac{1}{a} +\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2} \right )−a \,\ ^{(\ast)}[/tex]

[tex]f(x)=2a \left [ \left ( x+\frac{1}{a} \right )^2 -\frac{1}{a^2} \right ]−a[/tex]

[tex]f(x)=2a \left ( x+\frac{1}{a} \right )^2 -\frac{2}{a} −a[/tex]
Сега ще извършим оценката с помощта на най-важното неравенство в алгебрата - за точния квадрат.
[tex]\fbox{K^2\ge 0}[/tex] - независимо какво е реалното число или израз [tex]\fbox{ K}[/tex].

[tex]\left ( x+\frac{1}{a} \right )^2\ge 0[/tex]

Умножавайки по отрицателното число [tex]2a \,\ ^{(\ast \ast)}[/tex] получаваме
[tex]2a \left ( x+\frac{1}{a} \right )^2\le 0[/tex]

добавяме към двете страни [tex]-\frac{2}{a} −a[/tex]
[tex]2a \left ( x+\frac{1}{a} \right )^2 -\frac{2}{a} −a\le -\frac{2}{a} −a[/tex]

Получихме [tex]f(x)\le -\frac{2}{a} −a[/tex]
Това неравенство означава, че НГС - най-голямата стойност на [tex]f(x)[/tex] е числото (изразът) [tex]-\frac{2}{a} −a[/tex].

По условие [tex]НГС=3[/tex] , следователно [tex]-\frac{2}{a} −a=3[/tex]
и тук вече решаваме квадратно уравнение за [tex]a[/tex].
___________
[tex]^{(\ast)}[/tex] Отделеният квадрат е в скобите - опитваме се да достигнем до формула от вида [tex]u^2+2uv+v^2[/tex] , която да представим така [tex](u+v)^2[/tex] и разбира се - без да нарушим условието.
___________
[tex]^{(\ast \ast)}[/tex] Числото [tex]a<0[/tex], защото в противен случай f(x) нямаше да има най-голяма стойност

Когато a е по малко от нула.png (11.99 KiB) Прегледано 214 пъти

, а най-малка

Когато a е по голямо от нула.png (8.58 KiB) Прегледано 214 пъти

. Виж параболите на чертежа.