Трапец

[Гост]

В равнобедрен трапец е вписана окръжност с радиус 5 см. Да се намери лицето на трапеца, ако дължината на отсечката, съединяваща допирните точки на окръжността с бедрата на трапеца е равна на 8 см.

[Davids]

Дадената $MN = 8$ е успоредна на основите.
Щом радиуса на вписаната е 5, то височината на трапеца е 10. Построяваме я, свързваща средите на основите, с което всъщност минава през центъра на вписаната, както и разполовява перпендикулярно $MN$. Ще кажем, че $hXMN = P$, а височината ще е $LH$ примерно. Тогава по питагорова за $\Delta OMP$ намираме $OP = 3$, откъдето $LP = r - OP = 2$
Построяваме средна отсечка през $O$, наречена $m$ и ще ползваме по Талес, че $LP:LO = MN:m$, тоест $2:5 = 8:m$, откъдето $m = 20$.
НО $m = \frac{a+b}{2}$
Лицето $S = \frac{a+b}{2}.h = 20.10 = 200cm^2$