Геометрична прогресия

[Гост]

Три числа, чийто сбор е 19, образуват растяща геометрична прогресия. Намерете тези числа, ако сумата от квадратите им е равна на 133.

[pal702004]

$4,6,9$
Подсказка
$(q^4+q^2+1)=(q^2+q+1)(q^2-q+1)$

[S.B.]

Нека a.b,c са членовете на геометричната прогресия,за които е изпълнено:
a+b+c=19
[tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]+[tex]c^{2}[/tex]=133
[tex]b^{2}[/tex]+([tex]a^{2}[/tex]+[tex]c^{2}[/tex])=133 От формулата за сбор на квадрати имаме:
[tex]b^{2}[/tex]+[tex](a+c)^{2}[/tex] - 2.a.c =133
но a + c = 19 - b ( от условието), а [tex]b^{2}[/tex] = a.c ( от геометричната прогресия) и тогава:
[tex]b^{2}[/tex] + [tex](19 - b)^{2}[/tex] - 2.[tex]b^{2}[/tex] = 133
[tex]b^{2}[/tex] + 361 - 38.b + [tex]b^{2}[/tex] - 2.[tex]b^{2}[/tex] = 133
38.b= 228
b=6

a + c =13
[tex]a^{2}[/tex] + [tex]c^{2}[/tex] = 97 [tex]\rightarrow[/tex] [tex](a + c)^{2}[/tex] - 2.a.c =97 заместваме a + c = 13 и получаваме a.c = 36
но a= 13 - c и получаваме
[tex]c^{2}[/tex] - 13.c + 36=0 от където [tex]c_{1 }[/tex] = 9 и [tex]c_{2 }[/tex] =4
понеже прогресията е растяща избираме c= 9 и получаваме a=4
окончателно : 4,6,9 ( очевидно q=[tex]\frac{3}{2}[/tex] >1)

[Гост]

Мерси много

[Гост]

Г-н pal702004 » 22 Юни 2017, 08:01 едва ли има време да разкрие тайната на своята подсказка, но съм сигурен няма да се разсърди, ако обърнем внимание на идеята му
( И за това, ако обичате, Like за него! ) .
Прогресията е [tex]\ddot{\overline{..}} \,\ a, \,\ b, \,\ c[/tex]
По условие
[tex]\begin{array}{|l} a<b<c \\ a+b+c=19 \\ a^2+b^2+c^2=133 \\ b^2=ac \end{array}[/tex]
Нека частното е [tex]q[/tex]. От първото условие [tex]q>1[/tex]
и системата вече изглежда така
[tex]\begin{array}{|l} q>1 \\ (1+q+q^2)a=19 \\ (1+q^2+q^4)a^2=133 \\ b^2=ac \end{array}[/tex]
Да се възползваме от подсказката на pal702004 в третото уравнение
[tex](1+q+q^2)(1-q+q^2)a^2=133[/tex]
Съкращаваме на [tex]19[/tex] двете страни - не забравяме второто условие - сумата на прогресията е [tex]19[/tex]
[tex]\cancel{(a+b+c)}(1-q+q^2)a=\cancel{133}^{7}[/tex]
Останалото е
[tex](1-q+q^2)a=7 \,\ \Leftrightarrow \,\ a-b+c=7[/tex]
Сега системата вече изглежда така
[tex]\begin{array}{|l} a<b<c \\ a+b+c=19 \\ a-b+c=7 \\ b^2=ac \end{array} \,\ \Rightarrow \,\ \begin{array}{|l} a<b<c \\ b = 6 \\ a+c=13 \\ ac=36 \end{array}[/tex]
Оттук явно [tex]\begin{array}{|l} a= 4 \\ b = 6 \\ c=9 \end{array}[/tex] е единственото решение, т.е. [tex]\ddot{\overline{..}} \,\ 4, \,\ 6, \,\ 9[/tex], с частно [tex]q=3/2[/tex] .