Ъгъл в куб

[Гост]

Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с околни ръбове AA1, BB1, CC1 и DD1.
Да се намери ъгълът между правата AD1 и равнината (ACC1).
Аз получавам 45 градуса, но отговорът е 30.
Ще се радвам, ако някой ми обясни кой точно е този линеен ъгъл между правата и равнината.

[Nathi123]

Нека ръба на куба е а ; [tex]AC\cap BD= O ; A_{1 }C_{1 }\cap B_{1 }D_{1 } = O_{1 } ; AC=BD= A_{1 }C_{1 }= B_{1 }D_{1 } = a\sqrt{2}\Rightarrow C_{1 }O_{1 }= CO = \frac{a\sqrt{2}}{2} ;[/tex]
[tex]C_{1 }O_{1 } || CO\Rightarrow OCC_{1 }O_{1 }[/tex] успоредник ( и правоъгълник ) [tex]\Rightarrow OO_{1 }||CC_{1 }\Rightarrow OO_{1 }\bot D_{1 }O_{1 } ; A_{1 }C_{1 }\bot D_{1 }O_{1 }[/tex]
[tex]\Rightarrow D_{1 }O_{1 }\bot (ACC_{1 }A_{1 })\Rightarrow \angle (AD_{1 },(ACC_{1 }))=\angle D_{1 }AO_{1 } ; \Delta AD_{1 }O_{1 }\Rightarrow \angle AO_{1 }D_{1 } =90^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{D_{1 }O_{1 }}{D_{1 }A}=sin\angle D_{1 }AO_{1 } = \frac{a\sqrt{2}}{2a\sqrt{2}}=\frac{1}{2} ;( AD_{1 }=a\sqrt{2}) \Rightarrow \angle D_{1 }AO_{1 } = 30^\circ[/tex] .

[Гост]

Не ми е ясно като за кого е решението на Nathi123 » 04 Юли 2017, 16:23.
Прекалено подробно, трудно проследимо от малки ученици.
За големите - излишно подробно, със скрита идея.

А идеята е проста. Ъгълът между права и равнина се определя като ъгъл между правата и нейната ортогонална проекция в равнината. С означенията на Nathi123 :
Точката [tex]D_1[/tex] се проектира ортогонално върху равнината [tex](ACC_1A_1)[/tex] в точката [tex]O_1[/tex]
Следователно [tex]AD_1[/tex] се проектира ортогонално върху равнината [tex](ACC_1A_1)[/tex] в [tex]AO_1[/tex]
Търсеният ъгъл e [tex]\varphi = \angle (AO_1; \,\ AD_1)=\angle D_1AO_1[/tex]
Явно [tex]sin \varphi =\frac{D_1O_1}{AD_1}[/tex] като числителят е половината от диагонал на стена на куба, а знаменателят е цял диагонал на стена на куба.
[tex]sin \varphi =\frac{1}{2} \,\ \Rightarrow \,\ \varphi =30^\circ[/tex]

Лесно е , когато някой ти е осветил пътя, ти да се кокориш насам-натам и да забелязваш нещата от сенките