Параметрично уравнение

[Гост]

Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за всяка от които уравнението
[tex]x^2 - 2(a + 2)x - 2a - 5 = 0[/tex]
има точно едно решение в отворения интервал [tex](0;1)[/tex].
Подчертаната дума затрудни допълнително задачата за мен, не мога да получа отговора [tex]a \in (-2,5;-2)[/tex].
Ще се радвам, ако ми помогнете.

[Nathi123]

D=[tex](a+2)^{2}+2a+5=a^{2}+6a+9=(a+3)^{2}\Rightarrow x_{1 }=a+2+a+3\cup x_{2 }=a+2-a-3\Rightarrow x_{1 }=2a+5[/tex]
[tex]\cup x_{2 }=-1 \notin (0,1)\Rightarrow \begin{array}{|l} 2a+5>0 \\ 2a+5<1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a>-\frac{5}{2} \\ a<-2 \end{array}\Leftrightarrow a\in (-2,5; -2)[/tex].

[Knowledge Greedy]

[tex]x^2−2(a+2)x−2a−5=0[/tex]
преобразуваме така
[tex]x^2-4x-5=2a(x+1)[/tex]
и след това така
[tex]a=\frac{x^2-4x-5}{2(x+1)}[/tex] - целта беше да получим параметъра [tex]a[/tex].
Последното деление може да извършим, защото [tex]-1\notin (0;1)[/tex]
Оказва се, че може да съкратим дробта вдясно на [tex](x+1)[/tex]
[tex]a=\frac{\cancel{(x+1)}(x-5)}{2\cancel{(x+1)}}[/tex]
и получаваме [tex]a=\frac{x-5}{2}[/tex]

От условието
[tex]0<x<1[/tex]
следва [tex]-5<x-5<-4[/tex],
а от него
[tex]-\frac{5}{2}<\frac{x-5}{2}<-2[/tex]
Следователно [tex]-2,5<a<-2[/tex]

[Гост]

Благодаря за решенията!
А може ли тази задача да се реши с теоремите за разпределение корените на квадратно уравнение?
Ако да - как, защото аз с тях тръгнах и не успях да я реша.

[Nathi123]

[tex]f(x)=x^{2}-2(a+2)x-2a-5\Rightarrow f(0).f(1)<0\Leftrightarrow (-2a-5)(-4a-8)<0\Leftrightarrow (2a+5)(a+2)<0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a\in (-2,5;-2)[/tex].

[inveidar]

[tex]f(x)=x^{2}-2(a+2)x-2a-5\Rightarrow f(0).f(1)<0\Leftrightarrow (-2a-5)(-4a-8)<0\Leftrightarrow (2a+5)(a+2)<0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a\in (-2,5;-2)[/tex].

Всичко би било наред, ако първо провериш дали 0-та и 1-та не са корени, защото теоремата в учебниците е грешна и не важи в тези случаи!

[Nathi123]

Няма какво да проверявам дали 0 или 1 са корени на уравнението.Тогава f(0) = 0 или f(1) = 0 и няма как f(0).f(1) <0 . В изложеното решение са намерени стойностите на параметъра,за които f(0).f(1) <0.

[Nathi123]

В изложения първи начин на решение е показано,че дискриминантата е точен квадрат,че единият корен е х = -1 и няма как другият да е 0 или 1 ако е налице написаното неравенство.

[Nathi123]

Нека [tex]f(x) = ax^{2}+bx+c ; a\ne 0[/tex]. От [tex]f(\alpha).f(\beta) <0 \Rightarrow D>0 ; ( D=b^{2}-4ac)[/tex].
Доказателство : Ако D< 0 [tex]\Rightarrow f(\alpha) и f(\beta)[/tex] имат знака на а т.е. са с еднакви знаци и [tex]f(\alpha)f(\beta) >0[/tex] - противоречие с условието [tex]f(\alpha)f(\beta) <0[/tex].Ако D=0 [tex]\Rightarrow f(\alpha)=a(\alpha - x_{1 })^{2}; f(\beta)=a(\beta - x_{1 })^{2}\Rightarrow f(\alpha)f(\beta)\ge 0[/tex] - противоречие с условието.[tex]\Rightarrow D>0 \Rightarrow[/tex] съществуват [tex]x_{1 }\ne x_{2 }[/tex]- корени на f(x)=0 и различни от [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex],защото в противен случай нямаше
да е изпълнено условието [tex]f(\alpha)f(\beta) < 0[/tex].По нататък лесно се доказва,че точно един от корените е в отворения интервал [tex]( \alpha,\beta) .[/tex]

[S.B.]

[tex]f(x)=x^{2}-2(a+2)x-2a-5\Rightarrow f(0).f(1)<0\Leftrightarrow (-2a-5)(-4a-8)<0\Leftrightarrow (2a+5)(a+2)<0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a\in (-2,5;-2)[/tex].

Всичко би било наред, ако първо провериш дали 0-та и 1-та не са корени, защото теоремата в учебниците е грешна и не важи в тези случаи!

Щом сте толкова сигурен,че теоремата е грешна,защо не докажете твърдението си?Преди време бяхте много категоричен и за вписания четриъгълник,но въпреки,че Ви поканих да докажете вашите твърдения,Вие си замълчахте.

[Гост]

Ще отговоря вместо inveidar.
Теорема. Ако [tex]\lambda[/tex] и [tex]\mu[/tex] ([tex]\lambda < \mu[/tex]) са реални числа и квадратният тричлен [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] има реални корени, като само един от тях е в интервала [tex](\lambda ; \mu)[/tex], то [tex]f(\lambda).f(\mu)<0[/tex].
Обратно - [tex]f(\lambda).f(\mu)<0[/tex], то квадратният тричлен [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] има реални корени и само единият от тях е в интервала [tex](\lambda ; \mu)[/tex].
Доказателство.
Първата част [tex]"\Rightarrow"[/tex].
Ако един от двата корена на квадратния тричлен [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] е числото [tex]\lambda[/tex], то [tex]f(\lambda)=0[/tex]
Всяко число, умножено по нула, дава нула.
Като умножим [tex]f(\lambda).f(\mu)[/tex], ще се получи ли [tex]f(\lambda).f(\mu)<0[/tex] Не Извод: теоремата не е вярна!

[Гост]

Повтарям.
Формулровката на теоремата в учебника е грешна.
Ако единият корен на [tex]f(x)[/tex] е [tex]\lambda \,\ ^{\ast}[/tex], а другият корен е [tex]x_2[/tex] и [tex]\lambda < x_2 < \mu[/tex],
какво следва?
Че [tex]f(\lambda).f(\mu)<0[/tex].
Но това не е вярно!
[tex]f(\lambda)=0 \,\ \Rightarrow \,\ f(\lambda).f(\mu)=0[/tex]

И ако Nathi123 е проверила, че краищата на интервала не са корени,
то тя ще може да приложи теоремата!
В противен случай - греши!!

Тя точно това прави - проверява, че 0 е 1 не са корени , но в следващия си пост!!!
Нека бъдем коректни !!!!
За съжаление или не, inveidar е безпощадно прав

______
[tex]^{\ast}[/tex] означава, че [tex]f(\lambda)=0[/tex]

[inveidar]

За съжаление съм абсолютно прав и ми е мноооого, много чудно защо тази грешна теорема продължава да стои в учебника на Анубис, примерно?! То пък само това да беше в този учебник...

[Nathi123]

Мисля,че съм напълно коректна. Твърдя ,че не е нужно да се проверява дали [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са корени на
[tex]f(x) = ax^{2}+bx +c ; a\ne 0[/tex] ,когато[tex]f(\alpha).f(\beta)<0[/tex] и съм доказала,че в този случай f(x) има 2 различни реални корена,които са различни от [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex].

[inveidar]

Мисля,че съм напълно коректна. Твърдя ,че не е нужно да се проверява дали [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са корени на
[tex]f(x) = ax^{2}+bx +c ; a\ne 0[/tex] ,когато[tex]f(\alpha).f(\beta)<0[/tex] и съм доказала,че в този случай f(x) има 2 различни реални корена,които са различни от [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex].

Тъй. Когато това условие е изпълнено, то уравнението, естествено, има два различни корена от [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] и точно единият от тях е в интервала. Проблемът е, че това условие може да не е изпълнено и пак уравнението да има точно един корен в посочения интервал. С други думи, това е достатъчно условие, но не е необходимо. Сега дали ме разбра?

[inveidar]

Мисля,че съм напълно коректна. Твърдя ,че не е нужно да се проверява дали [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са корени на
[tex]f(x) = ax^{2}+bx +c ; a\ne 0[/tex] ,когато[tex]f(\alpha).f(\beta)<0[/tex] и съм доказала,че в този случай f(x) има 2 различни реални корена,които са различни от [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex].

Явно няма да минем без пример. Ето ти една задачка:
За кои стойности на параметъра [tex]a[/tex] уравнението [tex](2a-1)x^2+3ax-5a+1=0[/tex] има точно един корен в интервала [tex](-1;1)[/tex]?
Решавайки я по втория ти начин установяваме, че [tex]f(-1).f(1)=0[/tex]! Според теб какво следва от това? Че няма такива а-та ли? Не, естествено. Трябва да решаваш задачата по друг начин, защото теоремата в учебника, която твърди, че точно един от корените е в интервала [tex](-1;1)[/tex] ТОГАВА И САМО ТОГАВА, когато [tex]f(-1).f(1)<0[/tex] просто не е вярна!

[inveidar]

Мисля,че съм напълно коректна. Твърдя ,че не е нужно да се проверява дали [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са корени на
[tex]f(x) = ax^{2}+bx +c ; a\ne 0[/tex] ,когато[tex]f(\alpha).f(\beta)<0[/tex] и съм доказала,че в този случай f(x) има 2 различни реални корена,които са различни от [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex].

Ето ти още един пример: За кои стойности на параметъра [tex]a[/tex] уравнението [tex]ax^2+(2a-1)x+3=0[/tex] има точно един корен в интервала [tex](-1;1)[/tex]?
Би ли я решила?

[inveidar]

Щом сте толкова сигурен,че теоремата е грешна,защо не докажете твърдението си?Преди време бяхте много категоричен и за вписания четриъгълник,но въпреки,че Ви поканих да докажете вашите твърдения,Вие си замълчахте.

Вижте последните примерчета и ще се убедите, че наистина не е вярна както е дадена в учебника. То тя си е очевидно невярна, ама нейсе.

[Nathi123]

Първата поставена задача,решена от мен по ІІ начин е въз основа на следната теорема :
Нека [tex]f(x) =ax^{2}+bx+c; a\ne 0 ;[/tex] и [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са реални числа,за които [tex]f(\alpha ) .f(\beta )<0\Rightarrow f(x)[/tex] има два различни реални корена,които са различни от [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] и точно един от тях е в интервала [tex](\alpha,\beta )[/tex].
Тоест условието на теоремата е : При [tex]a\ne 0 f(x)=ax^{2} +bx +c ;f(\alpha).f(\beta) <0[/tex]( или при наличието на всички тези условия) следва заключението на теоремата: а именно,че квадратния тричлен f(x) има два различни реални корена, които са различни от дадените реални числа и точно един от тях е в интервала [tex](\alpha,\beta)[/tex] . Доказателството на тази теорема съм изложила почти цялото. И съм писала ,че от това което съм доказала ,лесно се вижда,че точно един от корените е в посочения интервал.
И ако се доказва с контрапример ,че това твърдение не е вярно ,то този пример трябва да изглежда така : пример на f(x)- квадратен тричлен за който [tex]f(\alpha).f(\beta) <0[/tex]и въпреки това f(x) има корен съвпадащ с [tex]\alpha[/tex] или [tex]\beta[/tex] или и двата корена са в посочения интервал,или двата корена са извън него. Тогава такъв пример ще посочва,че теоремата не е вярна.
Посочените примери не са такива.
Да вземем втория от тях . За кои стойности на параметъра а уравнението [tex]ax^{2} + (2a - 1)x +3 =0[/tex].
Преди да се приложи горната теорема отделно трябва да се разгледа случая когато нямаме квадратно уравнение. Т.е. а= 0 [tex]\Rightarrow -x+3 =0 \Leftrightarrow x =3.[/tex] Значи а =0 не е решение на задачата. При [tex]a \ne 0[/tex] се използва горната теорема.

[inveidar]

Първата поставена задача,решена от мен по ІІ начин е въз основа на следната теорема :
Нека [tex]f(x) =ax^{2}+bx+c; a\ne 0 ;[/tex] и [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са реални числа,за които [tex]f(\alpha ) .f(\beta )<0\Rightarrow f(x)[/tex] има два различни реални корена,които са различни от [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] и точно един от тях е в интервала [tex](\alpha,\beta )[/tex].
Тоест условието на теоремата е : При [tex]a\ne 0 f(x)=ax^{2} +bx +c ;f(\alpha).f(\beta) <0[/tex]( или при наличието на всички тези условия) следва заключението на теоремата: а именно,че квадратния тричлен f(x) има два различни реални корена, които са различни от дадените реални числа и точно един от тях е в интервала [tex](\alpha,\beta)[/tex] . Доказателството на тази теорема съм изложила почти цялото. И съм писала ,че от това което съм доказала ,лесно се вижда,че точно един от корените е в посочения интервал.
И ако се доказва с контрапример ,че това твърдение не е вярно ,то този пример трябва да изглежда така : пример на f(x)- квадратен тричлен за който [tex]f(\alpha).f(\beta) <0[/tex]и въпреки това f(x) има корен съвпадащ с [tex]\alpha[/tex] или [tex]\beta[/tex] или и двата корена са в посочения интервал,или двата корена са извън него. Тогава такъв пример ще посочва,че теоремата не е вярна.
Посочените примери не са такива.
Да вземем втория от тях . За кои стойности на параметъра а уравнението [tex]ax^{2} + (2a - 1)x +3 =0[/tex].
Преди да се приложи горната теорема отделно трябва да се разгледа случая когато нямаме квадратно уравнение. Т.е. а= 0 [tex]\Rightarrow -x+3 =0 \Leftrightarrow x =3.[/tex] Значи а =0 не е решение на задачата. При [tex]a \ne 0[/tex] се използва горната теорема.

Точно това обясних, че теоремата в учебника е грешна. Твоята теорема я няма в учебника. Както и да е. Би ли ми казала отговора на втория пример, а не е лошо да решиш и първия. Чакам.

[Nathi123]

Вече стана досадно да се обяснявам грешна ,не грешна теорема. Не следя какво е публикувано в учебниците. Има формулирани теореми като необходимо и достатъчно условие. Т.е две различни теореми - права и обратна и човек трябва да си дава сметка в конкретна задача коя от двете теореми използва. Теоремата ,която доказах не е мое изобретение просто е формулирана малко по сбито,а именно : Ако [tex]f(x) = ax^{2}+bx+c =0, a \ne0[/tex] и [tex]f(\alpha).f(\beta) <0[/tex] ,то точно един от корените на f(x)= 0 се намира в интервала [tex](\alpha,\beta) ,[/tex]
В процеса на доказателство на твърдението първо от даденото условие може да се установи ,че D>0 ( например по показания от мен начин ) и от там следва,че f(x) има два различни реални корена,които са различни от краищата на интервала.
Освен това ,ако се измени условието [tex]f(\alpha).f(\beta) <0[/tex] на [tex]f(\alpha)f(\beta)\le 0[/tex] става съвсем друго твърдение различно от използваното от мен за решението на задачата от зададената от Гост тема. За мен така зададената тема е изчерпана и повече не ми е интересна.

[ptj]

Вече стана досадно да се обяснявам грешна ,не грешна теорема. Не следя какво е публикувано в учебниците. Има формулирани теореми като необходимо и достатъчно условие. Т.е две различни теореми - права и обратна и човек трябва да си дава сметка в конкретна задача коя от двете теореми използва. Теоремата ,която доказах не е мое изобретение просто е формулирана малко по сбито,а именно : Ако [tex]f(x) = ax^{2}+bx+c =0, a \ne0[/tex] и [tex]f(\alpha).f(\beta) <0[/tex] ,то точно един от корените на f(x)= 0 се намира в интервала [tex](\alpha,\beta) ,[/tex]
В процеса на доказателство на твърдението първо от даденото условие може да се установи ,че D>0 ( например по показания от мен начин ) и от там следва,че f(x) има два различни реални корена,които са различни от краищата на интервала.
Освен това ,ако се измени условието [tex]f(\alpha).f(\beta) <0[/tex] на [tex]f(\alpha)f(\beta)\le 0[/tex] става съвсем друго твърдение различно от използваното от мен за решението на задачата от зададената от Гост тема. За мен така зададената тема е изчерпана и повече не ми е интересна.

Ако функцията [tex]f(x)[/tex] e непрекъсната и [tex]f(\alpha)=f(\beta)[/tex], то [tex](\alpha;\beta)[/tex] съдържа нечетен брой нули на функцията, т.е. корени на [tex]f(x)=0[/tex]. Конкретно за тази задача имаме квадратна функция, която има общо не повече от два корена, затова корена в интервала [tex](\alpha;\beta)[/tex] е точно един.

[ptj]

Почвам да се дразня като гледам куп обяснения за елементарна задача.

Използваме теоремата:
[tex]a.f(\alpha)<0\Leftrightarrow \alpha\in(x_1;x_2)[/tex]

Тогава от [tex]a.f(\beta)>0 \Rightarrow \beta \notin [x_1;x_2][/tex]

т.е. [tex]а^2.f(\alpha).f(\beta)<0\Rightarrow (\alpha\in(x_1;x2))\cap (\beta\notin[x_1;x_2])[/tex] (или обратното).

Последното е еквивалентно на [tex](x_1\in(\alpha;\beta))\cap(x_2\notin[\alpha;\beta])[/tex] (или обратното).

[Гост]

Пишем си едно и също и не си четем постовете. Някои са наистина като старите върхове на технологията - радиоточките

[inveidar]

Пишем си, но някои не искат да разберат, че второто решение на Нати е непълно и поради тази причина и дадох две задачи, за да види къде греши. Тя не иска да ги реши. Нейна си работа. Аз приключвам с напъните си да обясня на някой, който не иска да разбере, че бърка.