Локален минимум и максимум

[Demira]

Затруднявам се с решението на следните 2 задачи:
Зад.1
В тричлена y=m[tex]x^{2}[/tex]+nx+p коефициентите m, n, p са реални числа. Да се намерят тези числа, ако се знае , че при х=1 y има локален минимум, равен на 0, а сборът от кубовете на корените е равен на сбора от корените му.
Отг:n=2m; p=m

Зад.2
Единият корен на уравнениетo [tex]x^{4}[/tex]-a[tex]x^{2}[/tex]+b=0 е 2. Ако у=f(x)=[tex]x^{4}[/tex]-a[tex]x^{2}[/tex]+b, то y min=f(-3). Да се определят другите корени на уравнението и локалният максимум на функцията у=f(x)
Отг. а=18 b=56 [tex]x_{2 }=-2 x_{3/4 }[/tex]

[Добромир Глухаров]

Задача 1

$y=mx^2+nx+p$
$y$ има $min\Rightarrow$ върхът на параболата е насочен надолу, т.е. $m>0$
Връх на параболата $\to x=-\frac{n}{2m}=1\Rightarrow n=-2m$
$y(1)=0\Rightarrow m+n+p=0\Rightarrow m-2m+p=0\Rightarrow p=m$

Дадено е още, че $x_1^3+x_2^3=x_1+x_2$, т.е. $(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=x_1+x_2$, но $x_1+x_2=-\frac{n}{m}=-\frac{-2m}{m}=2$

$\Rightarrow 2(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=2\Rightarrow (x_1+x_2)^2-3x_1x_2=1$

Но $(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=2^2-3.\frac{p}{m}=4-3.\frac{m}{m}=1$ за всяко $m>0$

И окончателно имаме $y=mx^2-2mx+m=m(x^2-2x+1)=m(x-1)^2$

[Добромир Глухаров]

$f(x)=x^4-ax^2+b$
$f(2)=0\Rightarrow16-4a+b=0\Rightarrow b=4a-16$

$y_{min}$ се достига за $x^2=-\frac{-a}{2.1}=\frac{a}{2}$
$x=-3\Rightarrow(-3)^2=\frac{a}{2}\Rightarrow a=18$

$\Rightarrow b=4.18-16=56$

$x^4-18x^2+56=0$
$D_1=9^2-56=25$
$x^2=9\pm5=14;4$

$x_{1,2}=\pm2;\ x_{3,4}=\pm\sqrt{14}$

$f(x)=x^4-18x^2+56$
$f'(x)=4x^3-36x=0$
$4x(x^2-9)=0$

$x_1=-3;\ x_2=0;\ x_3=3$

$x\in(-\infty;-3)\to f'(x)<0\to f(x)$ намалява.
$x\in(-3;0)\to f'(x)>0\to f(x)$ расте.
$x\in(0;3)\to f'(x)<0\to f(x)$ намалява.
$x\in(3;\infty)\to f'(x)>0\to f(x)$ расте.

$f_{max}=f(0)=56$