Cos, Геометрична прогресия

[Гост]

....

[Davids]

7. Имаме $\frac{\alpha}{2} \in (\frac{3\pi}{4}; \pi)$, следователно косинусът на половинката е отрицателен и е равен по формулата на:
$cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{5}{8}} = -\frac{\sqrt{10}}{4}$

8. Понеже трите числа образуват геометрична прогресия, можем да ги запишем като $a, aq, aq^2$. Правим системата, дадена по условие:
[tex]\begin{array}{|l} a + aq + aq^2 = 21 \\ a^3q^3 = 216 \end{array}[/tex]
От второто уравнение веднага се вижда, че $aq = 6 \Rightarrow a = \frac{6}{q}$
Заместваме в първото и след освобождаване от множител получаваме: $6q^2 - 15q + 6 = 0$
Решения са:
$q_1 = \frac{1}{2} \Rightarrow a_1 = 12$
$q_2 = 2 \Rightarrow a_2 = 3$

И в двата случая числата са 12, 6 и 3.

9. При равни стойности на косинуси на аргументи имаме два случая: или аргументите са равни, или са с обратен знак. Следователно разглеждаме два случая.

Iсл.: $\frac{\alpha}{2} = \frac{\beta - \gamma}{2}$
$\alpha = \beta - \gamma \Rightarrow \gamma = \beta - \alpha$, но също от определението за триъгълник имаме и $\gamma = 180 - \alpha - \beta = \beta - \alpha \Rightarrow 2\beta = 180 \Rightarrow \beta = 90^{\circ}$ и триъгълникът е правоъгълен.

IIсл.: $\frac{\alpha}{2} = \frac{\gamma - \beta}{2} => \gamma = \alpha + \beta$, но отново ползваме това, че са ъгли в триъгълник, което означава, че и $\gamma = \alpha + \beta = 180 - (\alpha + \beta) => \alpha + \beta = 90^{\circ} => \gamma = 90^{\circ}$ и триъгълникът отново е правоъгълен