Ирационални уравнения

[Гост]

Ще съм благодарен на всеки, който помогне.

[ева]

12 зад.
[tex]\sqrt{x^{2}-3х+3}[/tex]+[tex]\sqrt{x^{2}-3х+6}[/tex]=3
Д.М.[tex]\begin{array}{|l} x^{2}-3х+3\ge0 \\ x^{2}-3х+6\ge0 \end{array}[/tex]
1 нер.D=9-12=-3<0[tex]\Rightarrow[/tex]х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];+[tex]\infty[/tex])
2 нер.D=9-24=-15<0[tex]\Rightarrow[/tex]х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];+[tex]\infty[/tex])
обобщено Д.М. х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];+[tex]\infty[/tex])
полаг.[tex]x^{2}[/tex]-3х+3=у (1)
[tex]\sqrt{у}[/tex]+[tex]\sqrt{у+3}[/tex]=3
[tex]\sqrt{у+3}[/tex]=3-[tex]\sqrt{у}[/tex] (вдигаме на 2 степен)
у+3=9-6[tex]\sqrt{у}[/tex]+у
[tex]\sqrt{у}[/tex]=1[tex]\Rightarrow[/tex][tex]у_{1 }[/tex]=-1 или [tex]у_{2 }[/tex]=1 от(1)[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]x^{2}[/tex]-3х+3=-1 или [tex]x^{2}[/tex]-3х+3=1
[tex]x^{2}[/tex]-3х+4=0 или [tex]x^{2}[/tex]-3х+2=0
при 1-то кв. ур-е D=9-16<0[tex]\Rightarrow[/tex]няма реш.
при 2-то кв. ур-е D=9-8=1 [tex]x_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{3\pm1}{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]x_{1 }[/tex]=1;[tex]x_{2 }[/tex]=2
Като направим проверка виждаме,че и двете числа са р-я на ур-то.

[S.B.]

Зад.5:[tex]\sqrt{x^{2} + x +1}[/tex] +[tex]\sqrt{x^{2} - x +1}[/tex] = 4
[tex]x^{2}[/tex] + x +1 > 0 за [tex]\forall[/tex]x и [tex]x^{2}[/tex] -x +1>0 за[tex]\forall[/tex] x
[tex]\sqrt{x^{2} + x +1}[/tex] = 4 - [tex]\sqrt{x^{2} - x +1}[/tex]
Повдигат се на втора степен двете страни на уравнението и след преобразуване се получава:
4.[tex]\sqrt{x^{2} - x + 1}[/tex] = 8 - x
8 - x>0 [tex]\rightarrow[/tex] x<8 или областта на решения на x e : x[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] , 8)
Отново повдигам на втора степен двете страни и след преобразуване се получава:
5.[tex]x^{2}[/tex] - 16 = 0 или ([tex]\sqrt{5}[/tex].x +4)([tex]\sqrt{5}[/tex].x - 4) = 0
[tex]x_{1 }[/tex] =- [tex]\frac{4}{\sqrt{5}}[/tex] [tex]\approx[/tex] -1,79 , [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{4}{\sqrt{5}}[/tex] [tex]\approx[/tex] 1,79 и двете принадлежат на ДМ
Проверка : след заместване в усл. се получава [tex]\sqrt{1,79^{2} - 0,79}[/tex] + [tex]\sqrt{1,79^{2} + 2.79}[/tex] = [tex]\sqrt{2,41}[/tex] + [tex]\sqrt{5,99}[/tex] = 1,55 + 2,45 = 4
Следователно решенията са - [tex]\frac{4}{\sqrt{5}}[/tex] и [tex]\frac{4}{\sqrt{5}}[/tex]
Допускам,че при отговорите в сборника е допусната печатна грешка .

[S.B.]

Зад.6:[tex]\sqrt{5x +7}[/tex] - [tex]\sqrt{x + 3}[/tex] = [tex]\sqrt{3x + 1}[/tex]
От 5x + 7[tex]\ge[/tex]0 , x + 3[tex]\ge[/tex]0 и 3x + 1 [tex]\ge[/tex]0 получавам Д.М. x [tex]\in[/tex] [ -[tex]\frac{1}{3}[/tex] , +[tex]\infty[/tex])
След повдигане на втора степен двете страни на уравнението се получава:
2[tex]\sqrt{(5x + 7)(x + 3)}[/tex] = 3(x+3) от 3( x + 3 ) [tex]\ge[/tex] 0 следва ,че x>-3 се потвърждава,че Д.М е x [tex]\in[/tex] ( -[tex]\frac{1}{3}[/tex] , +[tex]\infty[/tex])
Отново се повдигат на втора степен двете страни на уравнението и се получава:
4(5x + 7)(x + 3) = 9[tex](x + 3)^{2}[/tex]
След преобразуване се получава ( x + 3)( 11x +1) = 0 , от където [tex]x_{1 }[/tex] = -3 и [tex]x_{2 }[/tex] = - [tex]\frac{1}{11}[/tex]
- 3 [tex]\notin[/tex]Д.М. , -[tex]\frac{1}{11}[/tex][tex]\in[/tex] Д.М.
Правим проверка с x = -[tex]\frac{1}{11}[/tex]
Лява страна :[tex]\sqrt{- \frac{5}{11} + 7}[/tex] - [tex]\sqrt{- \frac{1}{11} + 3}[/tex] = 2[tex]\sqrt{\frac{2}{11}}[/tex]
Дясна страна : [tex]\sqrt{- \frac{3}{11} + 1}[/tex] = 2[tex]\sqrt{\frac{2}{11}}[/tex]
Лявата и дясната страна са равни ,следователно x = -[tex]\frac{1}{11}[/tex]

[Гост]

Някой успява ли да реши 11 зад ?

[S.B.]

Опитвам се,но мисля,че има печатна грешка във втория радикал.Мисля,че не е 6[tex]x^{2}[/tex] - 4.x - 5, a e 6[tex]x^{2}[/tex] - 4x + 5.
Положи 3.[tex]x^{2}[/tex] - 2.x =t и 6[tex]x^{2}[/tex] -4.x = 2t И ще получиш
[tex]\sqrt{t + 9}[/tex] + [tex]\sqrt{2.t + 5}[/tex] = 7 и пробвай.Аз съм много изморена и вероятно утре ще се опитам да разбера къде е грешката.
Лека нощ!

[Knowledge Greedy]

По задача 11. Даденият отговор се получава.[tex]^*[/tex]
Полагаме [tex]u=\sqrt{3x^2-2x+9}[/tex]
[tex]v=\sqrt{6x^2-4x-5}[/tex]
Уравнението става [tex]u+v=7[/tex]
Забелязват се интересни връзки: [tex]v^2-u^2=3x^2-2x-14 \Rightarrow v^2=2u^2-23[/tex], а също [tex]u^2+v^2=(3x-2)^2[/tex]
(което, в този ранен час, нямам представа за какво може да послужи )
Все пак от системата [tex]\left| \begin{matrix}
u+v =7 \\
v^2 = 2u^2-23
\end{matrix}\right.[/tex]
изолираме уравнението [tex]u^2+14u-72=0[/tex], от което при [tex]u=4[/tex] получаваме уравнение за [tex]x[/tex]
[tex]\sqrt{3x^2-2x+9}=4[/tex] , чиито корени са [tex]x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{22}}{3}[/tex]