още 2 зад

[Milenaa]

може ли каквато и да е помощ ))

[KOPMOPAH]

Правоъгълен_триъгълник-2.png (12.31 KiB) Прегледано 160 пъти

$71.$
Както обикновено, едният катет е $a$, а другият - $b$, следователно лицето на $\triangle ABC$ е $\frac {ab}2$.
След като $\triangle OAB$, $\triangle OBC$ и $\triangle OAC$ са равнолицеви, значи лицето на всеки един от тях е $\frac 13 S_{ABC}=\frac {ab}6$. Оттук намираме $OF=\frac{S_{OAC}}b=\frac a3$ и $OG=\frac{S_{OBC}}a=\frac b3$.
Четириъгълникът $OGCF$ е правоъгълник, значи $OF=GA=\frac a3$, а следователно $BG=\frac {2a}3$ и съответно $OG=\frac b3$ и $AF=\frac {2b}3$.
За $\triangle OBG$ по Питагорова теорема имаме:
$OB^2=\left(\frac {2a}3\right)^2+\left (\frac b3\right)^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
а за $\triangle OAF $ съответно:
$ OA^2=\left(\frac {2b}3\right)^2+\left (\frac a3\right)^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$
Събирайки равенствата $(1)$ и $(2)$ получаваме $OA^2+OB^2=\frac {5a^2}9+\frac {5b^2}9$
Търсената отсечка $OC$ намираме пак по Питагорова теорема от $\triangle OCF=\sqrt{\left (\frac a3\right)^2+\left (\frac b3\right)^2}$, но $ OA^2+OB^2=\frac {5a^2}9+\frac {5b^2}9=m^2 \Rightarrow\frac {a^2}9+\frac {b^2}9=\frac{m^2}5\Rightarrow OC=\frac m{\sqrt 5}$

[KOPMOPAH]

Хипотенуза-15.png (10.23 KiB) Прегледано 157 пъти

Обозначаваме пресечената точка на ъглополовящата с по-малкия катет (който, естествено, е срещу най-малкия ъгъл) с $L$, петата на перпендикуляра от $M$ към продължението на хипотенузата с $N$.
Първо да намерим колко е този малък катет - $BC=\sqrt {15^2-12^2}=9$
Второ – да намерим в какво съотношение т.$L$ дели $BC$. От свойството на ъглополовящата $BL:LC=AB:AC$. След несложни пресмятания намираме $BL=4$ и $CL=5$
Трето – да намерим дължината на ъглополовящата, че ще ни трябва. Използваме, че $AL^2=AB.AC-BL.CL$, откъдето $AL=\sqrt{12.15-4.5}=4\sqrt {10}$
Четвърто – търсеното разстояние намираме от подобните триъгълници $\triangle ABL$ и $\triangle ANM$, а те са подобни, защото имат два (значи и три) равни ъгъла. От подобието имаме:
$LB:AL=MN:AM \Rightarrow AM=\frac{MN.AL}{LB}=\frac{15. 4\sqrt {10}}{4}=15\sqrt {10}$