Уравнение с корени

[Гост]

Някой има ли идея как се решават?

[Davids]

1. Зад.:
Полагаме от откат $t = \sqrt{x-1} \ge 0$
Тогава корените придобиват вида:
$\sqrt{t^2 + 4 - 4t} + \sqrt{t^2 + 9 - 6t} = 1$
$\sqrt{(t-2)^2} + \sqrt{(t-3)^2} = 1$
$|t-2| + |t-3| = 1$
Решения на модулното уравнение са $t \in [2; 3]$
Следователно $x \in [5; 10]$

[Гост]

За третото и трите събирами са строго растящи от $--\infty$ до $\infty$ и са непрекъснати следователно такава е и сумата им. Така ще има само един корен и той се налучква, че е -2.

[Davids]

2. От наличния корен извеждаме първата част от $ДС: x > \frac{2}{3}$
Освобождаваме от знаменател и получаваме:
$3x - 2 - (x^2 - 2x + 4) = (x-3)\sqrt{3x-2}$
$-(x^2 - 5x + 6) = (x-3)\sqrt{3x-2}$
Технично се сещаме да разложим лявата част на множители, с което получаваме:
$-(x-3)(x-2) = (x-3)\sqrt{3x-2}$
И сега много хора биха ме оборили, че това е добра практика, тъй като (казват) е много лесно да загубиш решения, но смятам, че ако знаеш какво правиш, не е проблем. Та, очевидно единият корен е $x = 3$, приемаме това и делим двете страни на $x-3 \ne 0$.
Получаваме $2-x = \sqrt{3x-2}$, откъдето и втората част на ДС: $x \le 2$ (лявата страна е строго неотрицателна). Т.е. занапред $x \in [\frac{2}{3}; 2]$
Повдигаме на втора:
$x^2 - 4x + 4 = 3x - 2$
$x^2 - 7x + 6 = 0$
Корени са $1$ и $6$, от които само единицата влиза в ДС.
Окончателно $x_1 = 3; x_2 = 1$

[KOPMOPAH]

1. Зад.:
...
Решения на модулното уравнение са $t \in [2; 3]$
Следователно $x \in [5; 10]$

Без да се опитвам да омаловажавам решението на Davids, който се е доказал като решавач биха казал, че $[5; 10]$ е ИНТЕРВАЛ, т.е. това са решения на неравенство, например такова, което след полагането води до $\sqrt{t^2 + 4 - 4t} + \sqrt{t^2 + 9 - 6t} \le 1$, истинският отговор е $x \in \{5; 10\}$, ако (все още) така се записва множество
Моля да бъда извинен, но на някого подобна грешка може да му струва скъпо на изпит

[Davids]

Без да се опитвам да омаловажавам решението на Davids, който се е доказал като решавач биха казал, че $[5; 10]$ е ИНТЕРВАЛ, т.е. това са решения на неравенство, например такова, което след полагането води до $\sqrt{t^2 + 4 - 4t} + \sqrt{t^2 + 9 - 6t} \le 1$, истинският отговор е $x \in \{5; 10\}$, ако (все още) така се записва множество
Моля да бъда извинен, но на някого подобна грешка може да му струва скъпо на изпит

Аз всъщност есенциално не схващам разликата между двете понятия (ако не се има предвид множество само на цели числа, разбира се). Реално и дробите в интервала са решение, аз затова се съгласих със записаното като отговор (под формата на интервал). Ако съществува конвенция, че решенията на неравенствата се записват в интервали, а на уравненията - в множества, то тогава сме в грешка наистина със записа и корекцията ще се запомни занапред

[Davids]

За третото и трите събирами са строго растящи от $--\infty$ до $\infty$ и са непрекъснати следователно такава е и сумата им. Така ще има само един корен и той се налучква, че е -2.

С първата част от теоретическото твърдение съм напълно съгласен, само дето това с налучкването нещо не ме изкефи, та предлагам да се заемем да решим задачката.
Като заначало ще положим $t = x + 2$.
Тогава имаме $\sqrt[3]{t - 1} + \sqrt[3]{t} + \sqrt[3]{t + 1} = 0$
$\sqrt[3]{t - 1} + \sqrt[3]{t + 1} = -\sqrt[3]{t}$ $(*)$
Нямаме ограничения в ДС (и се чувстваме мощни поради корен от три), така че смело повдигаме на трета и достигаме до:
$t - 1 + 3\sqrt[3]{(t-1)(t+2)}(\sqrt[3]{t-1} + \sqrt[3]{t+1}) + t + 1 = -t$
$\sqrt[3]{(t-1)(t+2)}(\sqrt[3]{t-1} + \sqrt[3]{t+1}) = -t$
$\Rightarrow \sqrt[3]{t-1} + \sqrt[3]{t+1} = -\frac{t}{\sqrt[3]{(t-1)(t+2)}}$ $(**)$
Забелязваме, че при $(**)$ достигнахме пак до лявата страна на $(*)$ (което беше и заучената цел ), следователно приравняваме десните страни:
$-\sqrt[3]{t} = -\frac{t}{\sqrt[3]{(t-1)(t+2)}}$
Повдигаме на трета:
$t(t-1)(t+1) = t^3$
$t^3 + t^2 - t^2 - t = t^3$
$-t = 0$
$\Rightarrow$ единственото решение е $t = 0$, тоест $x = -2$

[Гост]

Благодаря на всички!

[Nathi123]

Записът [tex]x\in [5,10][/tex] означава всяко реално число от затворения интервал [5,10] и това всъщност е отговорът на 1-ва задача.
Записът {5,10} означава множество състоящо се от само от два елемента ,а именно числата 5 и 10 !