Ирационално уравнение с параметър

[Гост]

Мерси предварително

[Петър Евгениев]

Може да бъркам аз ама мисля , че трябва да бъде [tex]a>-\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\sqrt{x+a}=x[/tex]
[tex]x+a\ge0[/tex]
[tex]x\ge0[/tex]
Като повдигна двете страни на квадрат,
[tex]x^{2}-x-a=0[/tex]
D=1+4a
Когато тази дискриминанта е >0 тогава има 2 корена,
1+4а>0
[tex]a>-\frac{1}{4}[/tex]


Когато заместя а с 1 [tex]x^{2}-x-1=0[/tex] D=1+4=5 , тогава си има 2 корена
П.П АКО БЪРКАМ , ИЗВИНЯВАМ СЕ ПРЕДВАРИТЕЛНО

[S.B.]

[tex]\sqrt{x + a}[/tex] = x
Нека a = 0 тогава [tex]\sqrt{x}[/tex] = х ,но х>о следователно ще има единствен корен х=1
а[tex]\ne[/tex]0
DM: x+a> 0 ,x > - a ( за радикала) и x>0 ( за дясната страна)
От x > -a и x > 0 [tex]\Rightarrow[/tex] a<0
Повдигам на втора степен : x + a = [tex]x^{2}[/tex]
[tex]x^{2}[/tex] - x - a = 0 ; D= 1 + 4a > 0 ( за да има 2 корена)[tex]\rightarrow[/tex] а > -[tex]\frac{1}{4}[/tex] или а >-0,25
От а<0 и а > - 0,25 [tex]\Rightarrow[/tex] а[tex]\in[/tex]( -0,25 , 0)

[Nathi123]

[tex]\sqrt{x+a} = x \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x + a \ge 0 \\ x\ge 0 \\ x+a = x^{2} (от опред за \sqrt{x} ) \end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за корените на полученото квадратно уравнение х + а [tex]\ge 0[/tex] ; (защото [tex]x+a = x^{2}[/tex] !!!)
[tex]\Rightarrow[/tex] корените на кв. уравнение [tex]x^{2} -x - a =0[/tex] ще са корени на ирационалното уравнение ( или решения на системата ,ако са неотрицателни) т.е. [tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{1 } + x_{2 } >0 \\ x_{1 } x_{2 } > 0\\ D>0 \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} 1+4a>0 \\ -a >0 \end{array} \Leftrightarrow a \in (-\frac{1}{4},0 ][/tex].
При а=0 се получават корени на кв. уравнение х = 0 и х =1 ,които се вижда ,че са корени и на ирац. уравнение. Не зная защо тази стойност на а е изключена от дадения отговор. Също не е казано,че корените трябва да са два различни,затова считам,че а = [tex]- \frac{1}{4}[/tex] също е решение на задачата.

[S.B.]

[tex]\sqrt{x+a} = x \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x + a \ge 0 \\ x\ge 0 \\ x+a = x^{2} (от опред за \sqrt{x} ) \end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за корените на полученото квадратно уравнение х + а [tex]\ge 0[/tex] ; (защото [tex]x+a = x^{2}[/tex] !!!)
[tex]\Rightarrow[/tex] корените на кв. уравнение [tex]x^{2} -x - a =0[/tex] ще са корени на ирационалното уравнение ( или решения на системата ,ако са неотрицателни) т.е. [tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{1 } + x_{2 } >0 \\ x_{1 } x_{2 } > 0\\ D>0 \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} 1+4a>0 \\ -a >0 \end{array} \Leftrightarrow a \in (-\frac{1}{4},0 ][/tex].
При а=0 се получават корени на кв. уравнение х = 0 и х =1 ,които се вижда ,че са корени и на ирац. уравнение. Не зная защо тази стойност на а е изключена от дадения отговор. Също не е казано,че корените трябва да са два различни,затова считам,че а = [tex]- \frac{1}{4}[/tex] също е решение на задачата.

Точно така!Казано е 2 реални ,а не 2 различни корена!Аз не съм догледала.Наистина отговорът би трябвало да е:
a[tex]\in[/tex] [-0,25,0] защото и при а=0 и при а=-0,25 корените са 2 реални.
Извинявам се!!!

[Гост]

От x > -a и x>0 как стигаш до извода, че а<0 ?

[Nathi123]

От определението за корен втори ,следва,че [tex]x+a = x^{2} (1)[/tex] т.е. следва,че за корените на полученото уравнение (1)
x+a [tex]\ge 0[/tex]; също от определението на [tex]\sqrt{x+a}\Rightarrow \sqrt{x+a}\ge0 ; \sqrt{x+a}=x\Rightarrow x\ge 0[/tex].

[S.B.]

Уравнението което се получава след повдигане на втора степен е : [tex]x^{2}[/tex] - х - а=0 Понеже х[tex]\ge[/tex]0,ако има два корена то ще трябва и двата да са неотрицателни. Тогава от Виет [tex]x_{1 }[/tex] .[tex]x_{2 }[/tex] = - а>0 ( понеже са с еднакви знаци) т.е. - а[tex]\ge[/tex]0
или а[tex]\le[/tex]0