Системи уравнения

[Гост]

Отг а) а= +- 2 , а= +-2/корен втори от 5
б) а€ ( - корен втори от 5; -1)

[Nathi123]

б) [tex]\begin{array}{|l} x^{2}+2ax-a^{2} +2a +4 =0 \\ y^{2} - 2y - x = 0 \end{array}[/tex]
Първото уравнение на системата е параметрично,но съдържа само неизвестното х и то трябва да има 2 различни реални
корена,защото ,ако има 1 корен системата ще има най - много 2 различни решения.
Т.е. D>0 [tex]D=2(a^{2}-a-2)>0\Leftrightarrow a\in (-\infty,-1)\cup (2,\infty )[/tex]. Да означим корените на първото уравн. с
[tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] .Тогава системата ще има 4 различни реални решения,ако уравненията
[tex]y^{2}-2y-x_{1 } =0[/tex] и [tex]y^{2}-2y-x_{2 } =0[/tex] имат по 2 различни реални корена. Нека [tex]D_{1 }[/tex] и [tex]D_{2}[/tex]
са техните дискриминанти.Тогава [tex]D_{1 }=1+x_{1 }; D_{2 }=1+x_{2 }\Rightarrow\begin{array}{|l} 1+x_{1 }>0\Leftrightarrow x_{1 }>-1\\ 1+x_{2 }>0\Leftrightarrow x_{2 }>-1\end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} a\in (-\infty,-1)\cup(2,\infty)\\ f(-1)>0 \\ \frac{-B}{2A} >-1\end{array}[/tex]
[tex]( f(x)= x^{2}+2ax-a^{2} +2a +4 ; B=2a; A=1)\Rightarrow \begin{array}{|l}a\in (-\infty,-1)\cup(2,\infty) \\ a^{2}-5<0 \\ -a>-1 \end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a\in (-\sqrt{5},-1)[/tex].

[ева]

а) [tex]\begin{array}{|l} у-х=а(1+ху) \\ 2ху+х+у+1=0 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} у-х=а+аху \\ у(2х+1)=-(1+х) \end{array}[/tex] (Да изразим -у и от 1-то и от 2-то ур-е,да изразим -х и от 1-то и от 2-то ур-е)

[tex]\begin{array}{|l} \frac{х+а}{1-ах}=-\frac{1+х}{2х+1} \\ \frac{у-а}{ау+1}=-\frac{1+у}{2у+1} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (х+а)(2х+1)+(1+х)(1-ах)=0 \\ (у-а)(2у+1)+(1+у)(ау+1)=0 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x^{2} +х+2ах+а+1-ах+х-аx^{2}=0\\ 2у^{2}+у-2ау-а+ау+1+ау^{2}+у=0 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (2-а)x^{2} +(2+а)х+(а+1)=0 (1)\\ (2+а)у^{2}+(2-а)у+(1-а)=0 (2) \end{array}[/tex]
Системата ще има 1 р-е,ако:
1.коефиц.пред [tex]x^{2}[/tex] е нула
2.D=0 при (1) ур-е
3.коефиц.пред [tex]у^{2}[/tex] е нула
4.D=0 при (2) ур-е

2-а=0
D=4+4а+[tex]а^{2}[/tex]-4(2-а)(а+1)=0
2+а=0
D=4-4а+[tex]а^{2}[/tex]-4(2+а)(1-а)=0

а=2
4+4а+[tex]а^{2}[/tex]-8а-8+4[tex]а^{2}[/tex]+4а=0
а=-2
4-4а+[tex]а^{2}[/tex]-8+8а-4а+4[tex]а^{2}[/tex]=0

а=2 или а=-2 или [tex]а^{2}[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] или [tex]а^{2}[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex]
а=2;а=-2;а=-[tex]\frac{2}{\sqrt{5}}[/tex];а=[tex]\frac{2}{\sqrt{5}}[/tex]