Ирационално уравнение с параметър (2)

[Гост]

При а<2 няма решение , при а>= 2 има единствено решение. Очевидно е, че при x>= 7 , a>= 2 , но как се доказва?

[Davids]

$\sqrt{x-3} + \sqrt{x-7} = a$, ДС: $a \ge 0; x \ge 7$
$\sqrt{x-3} = a - \sqrt{x-7}$ |^2
$x -3 = a^2 - 2a\sqrt{x-7} + x - 7$
$2a\sqrt{x-7} = a^2 - 4$ и тъй като $a \ge 0$ и новото ДС: $a^2 - 4 \ge 0$, то като ги сечем, получаваме $a \ge 2$. И вече е очевидно, че уравнението е линейно и коренът е един, а именно:
$x = (\frac{a^2 - 4}{2a})^2 + 7$