Модул, експоненциална функция, параметър в едно

[Гост]

Здравейте! Затруднен съм със следната задача:
[tex](9|x^{2}+x|-2)e^{-2x} = a[/tex]
В задачата се търсят стойностите на параметъра а, такива че уравнението има възможно най-много решения. Самият модул просто се разпада на два случая, при [tex]x \in (0;1) излиза с минус[/tex], а извън този интервал е плюс. Но аз не знам как мога да намеря тези стойности на а, без да построявам графика. Ако има друг начин без чертане на графика, ще съм благодарен ако обясните.

[Knowledge Greedy]

Чертането на графика не е същественото в повечето от тези задачи. То просто ни дава един по-бърз информационен канал. Защо да се лишаваме от него?!
Все пак ето някои съображения "без графика" .
Изследвайте функцията [tex]f(x)=( 9 \left |x^2+x \right | - 2) e^{-2x}[/tex]
Явно множеството от стойностите ѝ описва цялото [tex]\mathbb{R}[/tex] и поради тази причина още по-важно е да открием интервалите на растене и намаляване, както и локалните ѝ екстремуми. Защо?
Нека [tex]\xi[/tex] е точка на локален екстремум, за определеност нека [tex]f(\xi)=f_{max}(x)[/tex]
Това означава, че [tex]\exists \varepsilon >0 : \forall x \in (\xi- \varepsilon; \xi+\varepsilon) \setminus \left \{ \xi \right \}[/tex] и [tex]f(x)<f( \xi)[/tex]
Ясно е, че ако [tex]a=f(\xi)[/tex] - ще загубим възможността за поне още един корен на уравнението [tex]f(x)=a[/tex]. Защо? Нека вземем [tex]a=f(x_1)[/tex], където числото [tex]x_1\in (\xi- \varepsilon; \xi)[/tex]. Поради непрекъснатостта на функцията [tex]f(x)[/tex] в интервала [tex](\xi; \xi+\varepsilon)[/tex] ще намерим поне още едно число [tex]x_2[/tex] , такова, че [tex]f(x_2)=a[/tex].
Сега идеята е ясна. Всички локални екстремуми трябва да подредим по големина. Ще се получат различни множества от локални екстремуми.
Нека [tex]m_1, m_2, m_3[/tex] е най голямото такова множество. Както казах подредили сме [tex]m_1<m_2<m_3[/tex]. За определеност [tex]m_1=f_{min}(x)[/tex], а [tex]m_2=f_{max}(x)[/tex] и [tex]m_3=f_{max}(x)[/tex]. В такъв случай е целесъобразно да изберем [tex]a[/tex] от интервала [tex](m_1;m_2)[/tex].

[ptj]

Подробно:

Нека
[tex]f(x)=9|x^{2}+x|-2[/tex] и
[tex]g(x)=e^{-2x}=\frac{1}{е^{2x}}[/tex].

Първата функция:
Знаем че, [tex]9(x^2+x)[/tex] e парабола

1.gif (3.63 KiB) Прегледано 584 пъти

Последната функция приема отрицателни стойности между двата си корена, затова [tex]|9x^2+x|[/tex] ще изглежда така:

2.gif (3.58 KiB) Прегледано 584 пъти

Съответно графиката на [tex]f(x)=9|x^{2}+x|-2[/tex] ще е:

3.gif (3.52 KiB) Прегледано 584 пъти

Втората функция [tex]g(x)[/tex] е непрекъсната и растяща по цялата реална права с множество от стойности [tex](0;+\infty)[/tex], т.е. графиката й минава през всяко положително число точно веднъж.
С други думи тя няма да влияе на броя решения на [tex]f(x).g(x)=a[/tex] .

По-точно графиката на [tex]f(x).g(x)[/tex] ще наподобява тази на [tex]f(x)[/tex], но ще е по-разтеглена:
...

[ptj]

Продължение:

Графика на [tex]f(x).g(x)[/tex]:

4.gif (3.45 KiB) Прегледано 583 пъти

Най-много решения (успоредна права на абцисата ще пресече графиката на 4 места ) ще има за всяко а между [tex]f(0).g(0)[/tex] и [tex]f(-0.5).g(-0.5)[/tex].

Един вариант за по-строга обосновка е разделянето [tex]f(x).g(x)[/tex] на 4 интервала, във всеки от които тя е монотонна и непрекъсната . После остава да се сравнят само локалните им екстремуми с намеренето ограничение за а, т.е. да се покажат съществуването на решения.

Аналитичната идея на greedy e перфектна, а моята е нейното графично онагледяване. Ключевия момент е дефинирането и непрекъснатостта на функцията върху цялата реална ос.

[ptj]

Извинявам се, че се включвам още веднъж, но имам съществена забележка към допълнението на моя отговор, отчасти към края на решението на greedy и най-вече към коректността (трудността) на задачата.
По-точно: единия от локалните максимуми на [tex]f(x).g(x)[/tex], не е в [tex]x=-0.5[/tex], a в

5.gif (3.11 KiB) Прегледано 573 пъти

.

Мисля, че неговото определяне е невъзможно без използването на производни, а й не е много лесно за ученици.

Другия локален максимум е

6.gif (3.22 KiB) Прегледано 573 пъти

.

Той се намира в най- дясния клон на графиката ми за [tex]f(x).g(x)[/tex], т.е. интервалите на монотонност за [tex]f(x).g(x)[/tex] са 5. Съответно общата част за всички 5 е интервала от функционални стойности е [tex]a\in (0;\frac{3}{2}(\sqrt{10}-3)e^\frac{\sqrt{10}}{3})[/tex]. Това е правилния отговор ( с помощта на http://www.wolframalfa.com).

П.П.[tex]\lim_{x \to +\infty} f(x).g(x)=0[/tex]

[ptj]

Задачата е сравнително трудна, заради нестандартността си, но не й нерешима. Предполагах, че е дадена в тест, затова се усъмних в коректността й.