Обем и лице на околна повърхнина на пирамида.

[AnnaM2]

В правилна триъгълна пирамида осн. ръб е 6см, а околният ръб е 5см. Намерете лицето на околната повърхнина и обема.

[ева]

b=6см.,l=5см.основа-равностранен тр-к
S=? V=?
Нека т.Н лежи на основата,така че DH[tex]\bot[/tex][tex]\triangle[/tex]ABC т.е.DH=h;т.Т лежи на отс.АВ,така че DT[tex]\bot[/tex]AB т.е.DT=a(апотема);т.М- среда на АС
[tex]\triangle[/tex]ATD-правоъг.[tex]DT^{2}[/tex]+[tex]AT^{2}[/tex]=[tex]AD^{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]a^{2}[/tex]+([tex]\frac{b}{2})^{2}[/tex]=[tex]l^{2}[/tex] (DT е и медиана в тр-к ABD)
[tex]a^{2}[/tex]+9=25 ;a=[tex]\sqrt{16}[/tex]=4см. ;p=[tex]\frac{3.6}{2}[/tex]=9см.
S=p.a=9.4=36[tex]см^{2}[/tex]

(В-лице на основата) В=[tex]\frac{b^{2}.\sqrt{3}}{4}[/tex] (формула за лице на равностр. тр-к)
В=[tex]\frac{36\sqrt{3}}{4}[/tex]=9[tex]\sqrt{3}[/tex][tex]см.^{2}[/tex] (1)
h=DH=? [tex]\triangle[/tex]DHB-правоъг.[tex]DH^{2}[/tex]+[tex]BH^{2}[/tex]=[tex]BD^{2}[/tex] (т.Н съвпада с медицентъра на тр-к АВС)
[tex]h^{2}[/tex]+[tex](\frac{2}{3}BM)^{2}[/tex]=[tex]l^{2}[/tex] (ВМ се явява и височина в равностр. тр-к)
[tex]h^{2}[/tex]+[tex](\frac{2}{3})^{2}[/tex]([tex]\frac{b\sqrt{3}}{2})^{2}[/tex]=25
[tex]h^{2}[/tex]+[tex]\frac{4}{9}[/tex].[tex]\frac{36.3}{4}[/tex]=25
h=[tex]\sqrt{13}[/tex]см. (2)
V=[tex]\frac{Bh}{3}[/tex] ползваме (1) и (2) V=[tex]\frac{9\sqrt{3}.\sqrt{13}}{3}[/tex]=3[tex]\sqrt{39}[/tex][tex]см^{3}[/tex]
отг.36[tex]см^{2}[/tex];3[tex]\sqrt{39}[/tex][tex]см^{3}[/tex]

[AnnaM2]

Благодаря !!!