Екстремални задачи

[Гост]

Здравейте, трябва да реша тези две задачи, като поне едната да е по няколко начина. Ще съм ви благодарен, ако ми помогнете
1) От всички равнобедрени трапеци, на които двете бедра и малката основа са равни на а, да се намери този с най-малко лице.
2) Да се намери този равнобедрен триъгълник с лице S, за който радиусът на вписаната в него окръжност е най-голям.

[ptj]

Вероятно в първата част се търси трапеца с най-голямо лице, защото този с минимално лице клони към 0 (голяма основа ще клони към [tex]3а[/tex].

Ако ъгъла при голямата основа е [tex]0<\alpha\le\frac{\pi}{2}[/tex], то лицето ще е [tex]S=а^2.sin(\alpha)+2.(\frac{1}{2}a^2.sin(\alpha).cos(\alpha))[/tex],
( правоъгълник и два триъгълника).

С други думи търсим максимума на [tex]f(\alpha)=sin(\alpha)+sin(\alpha).cos(\alpha))=sin(\alpha)+\frac{1}{2}sin(2\alpha)[/tex].

[tex]f'(\alpha)=cos(\alpha)+cos(2\alpha)[/tex], [tex]f'(\alpha)=0\Leftrightarrow[/tex] [tex]cos(\alpha)+cos(2\alpha)=2 cos^2(\alpha)+cos(\alpha)-1=0[/tex]

Решенията са [tex]cos(\alpha)=\frac{1}{2}[/tex] и [tex]cos(\alpha)=-1[/tex].

[tex]f"(\alpha)=-sin(\alpha)-sin(2\alpha)\Rightarrow f"(\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{1}{2})=\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0[/tex]

Сл. максимума е при [tex]\alpha=\frac{\pi}{3}=60^\circ[/tex]

Втората стойност [tex]cos(\alpha)=-1[/tex] е извън дефинициоонната област.

П.П. Ако някой се чуди защо при [tex]\alpha[/tex] клонящо към 0 има минимум на обема, но не е локален екстремум за функцията, то отговора е: защото тя е растяща в интервала [tex](0;\frac{\pi}{3})[/tex].

[nikolayk]

Вероятно в първата част се търси трапеца с най-голямо лице, защото този с минимално лице клони към 0 (голяма основа ще клони към [tex]3а[/tex].

Ако ъгъла при голямата основа е [tex]0<\alpha\le\frac{\pi}{2}[/tex], то лицето ще е [tex]S=а^2.sin(\alpha)+2.(\frac{1}{2}a^2.sin(\alpha).cos(\alpha))[/tex],
( правоъгълник и два триъгълника).

С други думи търсим максимума на [tex]f(\alpha)=sin(\alpha)+sin(\alpha).cos(\alpha))=sin(\alpha)+\frac{1}{2}sin(2\alpha)[/tex].

[tex]f'(\alpha)=cos(\alpha)+cos(2\alpha)[/tex], [tex]f'(\alpha)=0\Leftrightarrow[/tex] [tex]cos(\alpha)+cos(2\alpha)=2 cos^2(\alpha)+cos(\alpha)-1=0[/tex]

Решенията са [tex]cos(\alpha)=\frac{1}{2}[/tex] и [tex]cos(\alpha)=-1[/tex].

[tex]f"(\alpha)=-sin(\alpha)-sin(2\alpha)\Rightarrow f"(\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{1}{2})=\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0[/tex]

Сл. максимума е при [tex]\alpha=\frac{\pi}{3}=60^\circ[/tex]

Втората стойност [tex]cos(\alpha)=-1[/tex] е извън дефинициоонната област.

П.П. Ако някой се чуди защо при [tex]\alpha[/tex] клонящо към 0 има минимум на обема, но не е локален екстремум за функцията, то отговора е: защото тя е растяща в интервала [tex](0;\frac{\pi}{3})[/tex].

Благодаря Ви за отговора Ще можете ли да ми помогнете с решението на втората задача или с втори начин на решение за първата? Благодаря