Неравенство с параметър

[Гост]

Благодаря на всеки , който помогне.

[Davids]

Доста класически пример за параметрично ирационално неравенство. Да се захващаме освен!
Първо имаме да определим инициалните ДС. Така, под корените имаме задължително неотрицателни стойности, така че:
[tex]\begin{array}{|l} a + x \ge 0 \\ a - x \ge 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x \ge -a \\ x \le a \end{array}[/tex]
Тогава $x$ съществува само ако $a > 0$, което автоматично значи, че при $a \le 0$ нямаме решения.
Имаме вече строго положителни лява и дясна страна, смело повдигаме на втора, достигайки до:
$2\sqrt{a^2 - x^2} > a^2 - 2a$
ДС под корена се запазва еквиваленто на инициалното. Следователно разглеждаме типичните два случая:
I) $\begin{array}{|l} a^2 - 2a < 0 \\ a^2 - x^2 \ge 0 \end{array}$
От първото уравнение извличаме $a \in (0; 2)$, което влиза в първоначалните ДС, а от решението на второто неравенство вече за $x$ получаваме решението в този интервал на $а$, което е $x \in [-a; a]$
II) $\begin{array}{|l} a^2 - 2a \ge 0 \\ 4(a^2 - x^2) > (a^2 - 2a)^2 \end{array}$
От първото уравнение получаваме $a \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$, което е важащата ДС за $а$ за този случай.
Отиваме на второто неравенство и разкриваме скоби:
$4a^2 - 4x^2 > a^4 - 4a^3 + 4a^2$
$4x^2 < -a^4 + 4a^3$
$4x^2 < -a^3(a-4)$
Понеже лявата страна ни е строго неотрицателна, то дясната следва да е строго положителна, т.е.:
$-a^3(a-4) > 0$
А понеже вече казахме, че $a > 0$, то $-a^3 < 0$ и за да е изпълнено исканото, трябва $a - 4 < 0 \Rightarrow a < 4$. Пресичаме с горната ДС за този случай и оттам излиза $a \in [2; 4)$
Остава да решим вече неравенството за $x$:
$x^2 < \frac{a^2(4a - a^2)}{4}$
На което решенията са респективно $x \in (-\frac{a}{2}\sqrt{4a-a^2}; \frac{a}{2}\sqrt{4a-a^2})$
----------------
Окончателно се очертават изводите и цялостното решение от снимката по-горе. Надявам се всичко да е ясно