Геометрична прогресия

[Гост]

Стигнах до 85/15 =а1q^4 + a1 ии ..до там

[Петър Евгениев]

Правиш 1 система с две уравнения с две неизвестни. КАК?
От това, че геометричната прогресия е [tex]a, aq, aq^{2},...,aq^{n-1}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a_{1 }+a_{2 }+a_{3 }+a_{4 }=15 \\ a_{1 }^{2}+a_{2 }^{2}+a_{3 }^{2}+a_{4 }^{2}=85 \end{array}[/tex]
Като за [tex]a_{2 }=a_{1 }.q , a_{3 }=a_{1 }.q^{2} , a_{n }=a_{1 }.q^{n-1}[/tex]
Ако не можеш казвай, давам ти повод да пробваш да я решеш сам

[Гост]

Получават се високи степени не се сещам

[ptj]

От това, че геометричната прогресия е [tex]a, aq, aq^{2},...,aq^{n-1}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a_{1 }+a_{2 }+a_{3 }+a_{4 }=15 \\ a_{1 }^{2}+a_{2 }^{2}+a_{3 }^{2}+a_{4 }^{2}=85 \end{array} \Leftrightarrow
\begin{array}{|l} a_{1 }(1+q+q^2+q^3)=15 \\ a_1^2(1+q^2+q^4+q^6)=85 \end{array} \Leftrightarrow
\begin{array}{|l} a_{1 }\frac{q^4-1}{q-1}=15 \\ a_1^2\frac{(q^2)^4-1}{q^2-1}=85 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

Делим второто на първото и го заместваме с второто:

[tex]\begin{array}{|l} a_{1 }\frac{q^4-1}{q-1}=15 \\ a_{1 }\frac{q^4+1}{q+1}=\frac{17}{3}\end{array} \Leftrightarrow
\begin{array}{|l} a_{1 }\frac{q^4-1}{q-1}=15 \\ \frac{(q^4-1)(q+1)}{(q^4+1)(q-1)}=\frac{45}{17} \end{array}[/tex]

Продължавеме само с второто от последната система:

[tex]\frac{(q^2+1)(q+1)^2}{q^4+1}=\frac{45}{17}[/tex]

[tex]\frac{(q^2+1)(q^2+2q+1)^2}{q^4+1}=\frac{45}{17}[/tex]

[tex]14x^4-17x^3-17x^2-17x+14=0[/tex]

Aко има рационален корен [tex]\frac{p}{q}[/tex], то [tex]p/14[/tex] и [tex]q/14[/tex].

Целочислените възможностите са :[tex]\pm1; \pm2; \pm7; \pm14[/tex]

[tex]1[/tex] и [tex](-1)[/tex] не са корени, но [tex]2[/tex] е корен.

Хитростта е да забележим симетричността в първоначалната система и да предположим, че [tex]\frac{1}{2}[/tex] също е корен (проверяваме).

Остава да разложим на множители последното уравнение (с правило на Хорнер или с деление на полиноми),
делейки първо на [tex](q-2)[/tex] и [tex](2q-1)[/tex]:

[tex](q-2)(q-1)(7q^2-9q+7)=0[/tex]

Квадратното има отрицателна дискримината, затова решения (в реални числа) окончателно са [tex]q_1=2[/tex], [tex]q_2=\frac{1}{2}[/tex]

Връщаме се към системата и намираме: [tex]a_1=1[/tex], [tex]a_2=8[/tex].

T.e. прогресиите са :[tex]1,2,4,8,...[/tex] и [tex]8,4,2,1,...[/tex] .

[Петър Евгениев]

Да и от това става, че [tex]q=2[/tex] или [tex]q=\frac{1}{2}[/tex]
1 ви случай [tex]q=2[/tex]
тогава [tex]a_{1 }=1[/tex] Значи прогресията е:
[tex]1,2,4,8,16,32,64,..,[/tex]
Другия вариант е [tex]q=\frac{1}{2}[/tex]
Тогава [tex]a_{1 }=8[/tex] значи прогесията в този случай е : [tex]8,4,2,1,..,[/tex]