Безкрайна геометрична прогресия 2

[Гост]

19зад нормално ли е да се получават високи степени а^5 + b^5 ?

[Гост]

q^5 - 1 имах предвид ...

[Nathi123]

Нека безкрайно нам. геометрична прогресия е
[tex]a_{1 },a_{2 },..., a_{n },...,[/tex] с частно q ,такова че |q| <1 (за да е безкрайно намаляваща геом. прогресия).
Тогава сумата S =[tex]\frac{a_{1 }}{1-q}\Rightarrow \frac{a_{1 }}{1-q} = 3[/tex] .
За [tex]\forall n>1\Rightarrow \frac{a_{n+1 }}{a_{n}} =\frac{a_{1 }^{3}(q^{n})^{3}}{a_{1 }^{3}(q^{n-1})^{3}} = q^{3}[/tex]; от |q|<1 [tex]\Rightarrow |q^{3}|<1\Rightarrow[/tex] кубовете на членовете на безкр. намаляващата
геометрична прогресия също образуват числова редица,която е безкрайно нам. геом. прогресия с първи член [tex]a_{1 }^{3}[/tex] и
частно [tex]q^{3}[/tex] ,а сумата й е [tex]\frac{a_{1 }^{3}}{1-q^{3}}\Rightarrow\frac{a_{1 }^{3}}{1-q^{3}}=\frac{108}{13}[/tex] .
Така за да решим задачата ,трябва да решим системата [tex]\begin{array}{|l} \frac{a_{1 }}{1-q} = 3 \\ \frac{a_{1 }^{3}}{1-q^{3}}= \frac{108}{13} \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a_{1 }= 3(1-q) \\ \frac{27(1-q)^{3}}{1-q^{3}}=\frac{108}{13} |:27\end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1 }=3(1-q) \\ 13(1-q)^{2}=4(1+q+q^{2}) \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1 }=3(1-q) \\ 3q^{2}-10q+3=0; |q|<1\Rightarrow q=\frac{1}{3}\end{array}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a_{1 }=2 ; q= \frac{1}{3}\Rightarrow S_{5 }=\frac{2(1-(\frac{1}{3})^{5})}{1-\frac{1}{3}} = \frac{242}{81}[/tex].

[Nathi123]

20.зад. Нека първият член на прогресията е [tex]a_{1 }[/tex], частното е q и [tex]a_{n }=\frac{1}{6}[/tex]. Геом. прогресия е безкр. намаляваща
[tex]\Rightarrow |q|<1\Rightarrow \begin{array}{|l} \frac{a_{1 }}{1-q} =\frac{16}{3}\\ a_{1 }=\frac{1}{6}\Rightarrow a_{1 }q^{n-1}=\frac{1}{6}\\ \frac{S_{n-1 }}{a_{n+1 }+a_{n+2 }+...}=30 \end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l} a_{1 }=\frac{16}{3}(1-q) \\ a_{1 }q^{n-1} = \frac{1}{6}\Rightarrow16(1-q)q^{n-1}=\frac{1}{2}\\ \frac{a_{1 }(1-q^{n-1})(1-q)}{(1-q)a_{1 }q^{n}} =30\Leftrightarrow 1-q^{n-1} =30q^{n}\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a_{1 }=\frac{16}{3}(1-q) \\ q^{n} =q^{n-1}-\frac{1}{32}\\ 1-q^{n-1}=30q^{n-1} -\frac{30}{32}\Leftrightarrow 31q^{n-1}=\frac{62}{32}\Leftrightarrow q^{n-1}=\frac{1}{16} \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a_{1 }=\frac{16}{3}(1-q) \\ a_{1 } .\frac{1}{16}= \frac{1}{6} \Leftrightarrow a_{1 } = \frac{8}{3}\\ q^{n-1} =\frac{1}{16} \end{array}\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} 1-q=\frac{1}{2} \Leftrightarrow q=\frac{1}{2}\\ a_{1 }=\frac{8}{3} \\ (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{16}\end{array} \Rightarrow n-1=4\Rightarrow n=5 .[/tex]