Показателна функция

[Гост]

Може ли някой да помогне

[KOPMOPAH]

За неравенството $5^{x-2}+2^x>5^{x-2}2^x+1$ прехвърляме дясната страна отляво $5^{x-2}+2^x-5^{x-2}2^x-1>0$, разлагаме на множители и след несложна преработка получаваме $(2^x-1)(5^{x-2}-1)<0$.
Тук си спомняме, че да е изпълнено това неравенство, трябва $x$ да е в интервала на корените на $(2^x-1)(5^{x-2}-1)=0$.
Намираме ги от $2^x-1=0, \cdots, x=0$ и $5^{x-2}=1, \cdots, x=2$ и окончателно получаваме $x \in (0,2)$

[Nathi123]

[tex]2^{2x}-2^{2+2\sqrt{x}}\le 3.2^{x+\sqrt{x}}; 2^{x}=u\Rightarrow u>0; 2^{\sqrt{x}}=v;x\ge0\Rightarrow v>0\Rightarrow u^{2}-4.v^{2}-3uv\le 0|:v^{2}>0[/tex]
[tex](\frac{u}{v})^{2}-3\frac{u}{v}-4\le0 ;\frac{u}{v}=t>0\Rightarrow t^{2}-3t-4\le0\Leftrightarrow t\in (0,4] ; ( t>0 )\Rightarrow 0<\frac{u}{v}\le4[/tex]
[tex]\frac{2^{x}}{2^{\sqrt{x}}}\le4\Leftrightarrow 2^{x-\sqrt{x}}\le4 \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x -\sqrt{x}\le2 \\ x \ge 0 \end{array}[/tex]
[tex]\sqrt{x} = z; z\ge0 \Rightarrow z^{2}-z-2\le 0 \Rightarrow z\in [0,2]\Rightarrow x\in [0,4].[/tex]

[S.B.]

[tex][/tex]I[tex]2^{4x^{2} - 1}[/tex] - 5I[tex]\le[/tex]3
[tex]2^{4x^{2} - 1}[/tex] -5[tex]\ge[/tex] - 3 и [tex]2^{4x^{2} - 1}[/tex] -5 [tex]\le[/tex] 3
1) [tex]2^{4x^{2} - 1}[/tex] - 5 [tex]\ge[/tex] - 3 [tex]\rightarrow[/tex] [tex]2^{4x^{2} - 1}[/tex] [tex]\ge[/tex][tex]2^{1}[/tex] или 4[tex]x^{2}[/tex] - 1[tex]\ge[/tex]1 от където след преработка се получава:(х + [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex])(х - [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex])[tex]\ge[/tex] 0
от където : х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex],-[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]][tex]\cup[/tex][[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] , +[tex]\infty[/tex]) (1)
2) [tex]2^{4x^{2} - 1}[/tex] - 5[tex]\le[/tex]3[tex]\rightarrow[/tex] [tex]2^{4x^{2} - 1}[/tex][tex]\le[/tex][tex]2^{3}[/tex] или 4[tex]x^{2}[/tex] - 1[tex]\le[/tex]3 От където след преработка се получава 4(х + 1)(х - 1)[tex]\le[/tex]0
или х[tex]\in[/tex][-1 , +1] (2)
Окончателно от (1) и (2) се получава :х[tex]\in[/tex][-1,-[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]][tex]\cup[/tex][[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], 1]

[Nathi123]

[tex]|x|^{x^{2}+2,5x-1,5}<1[/tex]. Ако |x|=1 [tex]\Leftrightarrow x=\pm 1[/tex] - не са решения (вижда се с проверка).За x=0 с проверка се вижда ,че е решение.
Нека [tex]|x|\ne1[/tex]
[tex]\Rightarrow |x|^{x^{2}+2,5x-1,5}< |x|^{0}[/tex]
І. сл. [tex]|x| <1 \Leftrightarrow x\in (-1,1)\Rightarrow \begin{array}{|l} x\in |-1,1)\\ x^{2}+2,5x-1,5>0\end{array} \Leftrightarrow\begin{array}{|l} x\in (-1,1)\\ x \in (-\infty,3)\cup(\frac{1}{2},\infty)\end{array}\Leftrightarrow x\in(\frac{1}{2},1)[/tex].
ІІ. сл. |x|>1 [tex]\Leftrightarrow x\in (-\infty,-1)\cup (1,\infty)\Rightarrow \begin{array}{|l} x\in (-\infty,-1)\cup (1,\infty) \\ x^{2}+2,5x-1,5<0\end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l}x\in (-\infty,-1)\cup (1,\infty) \\x\in(-3,\frac{1}{2})\end{array}\Leftrightarrow x\in(-3,-1)\Rightarrow x\in(-3,-1)\cup (0,5,1)\cup{0}[/tex].

[KOPMOPAH]

Nati123 казва ...За x=0 с проверка се вижда ,че е решение...

Колебая се дали нулата може да се повдига на отрицателна степен (тъй като би се оказала в знаменател) или по определение тя е нула, независимо на каква степен е повдигната. Нека някой по-знаещ да вземе отношение.

[Петър Евгениев]

Мерси за решенията и на мен ми трябваха
Ами 0 на отрицателна степен, ще е в знаменателя 0-лата и няма как да стане, аз така си мисля.

[ptj]

[tex]0^a[/tex] е дефинирана само при [tex]а>0[/tex].

[Nathi123]

Да прав си и ptj - също - подведох се от отговора и не проверих внимателно за нулата - не е решение !