Задачи

[Milenaa]

може ли помощ?

[ева]

114 зад. [tex]\triangle[/tex]АВС,R=5см., r=2см. Нека СН=6 см.//АВ=с=? АС=b=? BC=a=?
[tex]\frac{c.CH}{2}[/tex]=S=[tex]\frac{abc}{4R}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{6c}{2}[/tex]=[tex]\frac{abc}{20}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ab=60 (1)

[tex]\frac{c.CH}{2}[/tex]=S=[tex]\frac{a+b+c}{2}[/tex].r [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{6c}{2}[/tex]=a+b+c [tex]\Rightarrow[/tex] a+b=2c (2)

[tex]\frac{c.CH}{2}[/tex]=S=[tex]\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] ; [tex](\frac{6c}{2})^{2}[/tex]=[tex]\frac{a+b+c}{2}[/tex]([tex]\frac{a+b+c}{2}[/tex]-a)([tex]\frac{a+b+c}{2}[/tex]-b)([tex]\frac{a+b+c}{2}[/tex]-c) (3)
[ Ще работим в/у (3) ] 16.[tex]\frac{36c^{2}}{4}[/tex]=(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) [ползваме (2)] [tex]\Rightarrow[/tex] 16.9[tex]c^{2}[/tex]=(2c+c)(b+c-a)(a+c-b)(2c-c)
16.9[tex]c^{2}[/tex]=3[tex]c^{2}[/tex](b+c-a)(a+c-b) [tex]\Rightarrow[/tex] ab+bc-[tex]b^{2}[/tex]+ac+[tex]c^{2}[/tex]-bc-[tex]a^{2}[/tex]-ac+ab=48 [ползваме (1) ] 120-[tex]a^{2}[/tex]-[tex]b^{2}[/tex]+[tex]c^{2}[/tex]=48 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]c^{2}[/tex]=-72+([tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex])
[tex]c^{2}[/tex]=-72+[tex](a+b)^{2}[/tex]-2ab (отново ползваме (1),(2) ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]c^{2}[/tex]=-72+[tex](2c)^{2}[/tex]-120 [tex]\Rightarrow[/tex] c=[tex]\sqrt{64}[/tex]=8 см. Сега от (1) и (2) образуваме с-ма
[tex]\begin{array}{|l} ab=60 \\ a+b=16 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} ab=60\\ a=16-b \end{array}[/tex] 16b-[tex]b^{2}[/tex]-60=0 получаваме [tex]b_{1 }[/tex]=10 см. или [tex]b_{2 }[/tex]=6 см. тогава [tex]а_{1 }[/tex]=6 см. или [tex]а_{2 }[/tex]=10 см.
отг.6 см.,8 см.,10 см.

[ева]

110 зад. [tex]\triangle[/tex]АВС,нека АВ=24 см.,СН(височина към АВ)=7 см.,К(О;3); т.М,т.Р,т.Т са допирните т. на К и АВ,ВС,АС;нека АМ=у
ОС=х=?
[tex]\triangle[/tex]ОРС е правоъг.[tex]\Rightarrow[/tex][tex]ОР^{2}[/tex]+[tex]СР^{2}[/tex]=[tex]ОС^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] СР=[tex]\sqrt{x^{2}-9}[/tex] ; щом АМ=у,то ВМ=24-у

АМ=АТ=у,ВМ=ВР=24-у,СР=СТ=[tex]\sqrt{x^{2}-9}[/tex] (равни допирателни от външни точки)

р=[tex]\frac{АВ+ВС+АС}{2}[/tex]=[tex]\frac{24+24-у+\sqrt{x^{2}-9}+\sqrt{x^{2}-9}+у}{2}[/tex] т.е. р=24+[tex]\sqrt{x^{2}-9}[/tex]

pr=S=[tex]\frac{AB.CH}{2}[/tex] ; (24+[tex]\sqrt{x^{2}-9}[/tex])3=[tex]\frac{24.7}{2}[/tex] ;[tex]\sqrt{x^{2}-9}[/tex]=4 [tex]\Rightarrow[/tex]
х=ОС=5 см.

[ева]

111 зад. [tex]\triangle[/tex]АВС с медицентър т.G ;т.М,т.Т,т.D,т.F са среди съответно на AB,BC,CT,CG.AD пресича СМ в т.Е.
[tex]\frac{СЕ}{МЕ}[/tex]=[tex]\frac{х}{у}[/tex]=?
FD се явява средна отс. в [tex]\triangle[/tex]GTC (1) Ако FD=b,то GT=2b; AT е медиана в [tex]\triangle[/tex]АВС,също AG=2GT тогава AG=4b
от (1)[tex]\Rightarrow[/tex] FD е успор.на GT т.е.FD е успор.на AG [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]EDF=[tex]\angle[/tex]EAG (кръстни),също [tex]\angle[/tex]FED=[tex]\angle[/tex]AEG (връхни)
по 1 признак [tex]\triangle[/tex]EDF[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]AGE [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{EF}{EG}[/tex]=[tex]\frac{FD}{AG}[/tex] ; [tex]\frac{CE-CF}{EM-GM}[/tex]=[tex]\frac{b}{4b}[/tex] ; [tex]\frac{х-\frac{х+у}{3}}{у-\frac{х+у}{3}}[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 4(3х-х-у)=3у-х-у ...[tex]\frac{х}{у}[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex]
[tex]\frac{СЕ}{МЕ}[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex]

Скрит текст: покажи

Мисля,че даденият отговор е грешен.

[ева]

118 зад. Нека АМ,СР са височини към ВС,АВ в тр-к АВС;АВ=75см.,ВС=70см.,АС=65см. //S(PBM)=?
[tex]\triangle[/tex]APC и [tex]\triangle[/tex]РВС са правоъг.[tex]\Rightarrow[/tex][tex]АС^{2}[/tex]-[tex]АР^{2}[/tex]=[tex]СР^{2}[/tex]=[tex]ВС^{2}[/tex]-[tex](АВ-АР)^{2}[/tex] ;[tex]65^{2}[/tex]-[tex]АР^{2}[/tex]=[tex]70^{2}[/tex]-[tex](75-АР)^{2}[/tex] ...АР=33см.,ВР=42см.

Сигурна съм,че [tex]\angle[/tex]ВРМ=[tex]\angle[/tex]ВСА=[tex]\gamma[/tex] Ще работим с форм. S(PBM)=[tex]\frac{PB^{2}sin\beta.sin\gamma}{2sin[180^\circ-(\beta+\gamma)]}[/tex] (1)

Скрит текст: покажи

Не мога да докажа равенството на ъглите,който знае как се доказва, моля да подскаже.

sin[tex]\beta[/tex],cos[tex]\beta[/tex],sin[tex]\gamma[/tex],cos[tex]\gamma[/tex]=?
в [tex]\triangle[/tex]АВС-cos T [tex]AB^{2}[/tex]=[tex]AC^{2}[/tex]+[tex]BC^{2}[/tex]-2AC.BC.cos[tex]\gamma[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]75^{2}[/tex]=[tex]65^{2}[/tex]+[tex]70^{2}[/tex]-2.65.70cos[tex]\gamma[/tex] ... cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{5}{13}[/tex],sin[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{12}{13}[/tex]
отново cos T [tex]AC^{2}[/tex]=[tex]AB^{2}[/tex]+[tex]BC^{2}[/tex]-2AB.BC.cos[tex]\beta[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]65^{2}[/tex]=[tex]75^{2}[/tex]+[tex]70^{2}[/tex]-2.75.70cos[tex]\beta[/tex] ... cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{3}{5}[/tex],sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] зам.в (1)
S=[tex]\frac{42^{2}.\frac{4}{5}.\frac{12}{13}}{2sin(\beta+\gamma)}[/tex]=[tex]\frac{42^{2}.4.12}{2.5.13(\frac{4}{5}\frac{5}{13}+\frac{3}{5}\frac{12}{13})}[/tex]=...=756
отг.756 [tex]см^{2}[/tex]

[KOPMOPAH]

118 зад....

Скрит текст: покажи

Не мога да докажа равенството на ъглите,който знае как се доказва, моля да подскаже.

Тъй като $\measuredangle APC$ и $\measuredangle AMC$ са прави, то те лежат на окръжност с радиус $AC$. Оттам $\measuredangle MAP=\measuredangle MCP$, $\measuredangle ACP=\measuredangle AMP$ а за $\measuredangle MPB$ като външен за $\triangle APM$ имаме $\measuredangle MPB=\measuredangle MAP+\measuredangle AMP=\measuredangle MCP=\measuredangle MCP+\measuredangle ACP=\measuredangle ACB$

[KOPMOPAH]

В отговора ми има едно $=\measuredangle MCP$ в повече , да се счита за ненаписано

[ева]

Благодаря !!! Как не съм се сетила

[ева]

113 зад. [tex]\triangle[/tex]АВС АВ=15,ВС=14,АС=13;т.Р,т.М,т.Н,т.Т лежат съответно на АВ,АВ,ВС,АС като РТ[tex]\bot[/tex]АВ и МН[tex]\bot[/tex]АВ.
АР=х=? ВМ=у=? РМ=?
cos T в [tex]\triangle[/tex]ABC [tex]AC^{2}[/tex]=[tex]BC^{2}[/tex]+[tex]AB^{2}[/tex]-2BC.ABcos[tex]\beta[/tex]; [tex]13^{2}[/tex]=[tex]14^{2}[/tex]+[tex]15^{2}[/tex]-2.14.15cos[tex]\beta[/tex] ...cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{3}{5}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] tg[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{4}{3}[/tex]
[tex]\triangle[/tex]МВН-правоъг. tg[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{MH}{BM}[/tex];[tex]\frac{4}{3}[/tex]=[tex]\frac{MH}{у}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] МН=[tex]\frac{4у}{3}[/tex]
от условието S(MBH)=[tex]\frac{S(ABC)}{3}[/tex] т.е. [tex]\frac{ВМ.МН}{2}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{3}[/tex] //p=[tex]\frac{13+14+15}{2}[/tex]=21
[tex]\frac{у.\frac{4у}{3}}{2}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{21(21-14)(21-13)(21-15)}}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{2у^{2}}{3}[/tex]=[tex]\frac{84}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] у=[tex]\sqrt{42}[/tex]
По същия начин работим в тр-к АРТ и получаваме х=[tex]\sqrt{33}[/tex]

отг. [tex]\sqrt{33}[/tex],[tex]\sqrt{42}[/tex] 15-[tex]\sqrt{42}[/tex]-[tex]\sqrt{33}[/tex]

[ева]

116 зад. [tex]\triangle[/tex]АВС DC пресича EF в т.Т,т.К,т.Р лежат на ВС тaка,че АК е успор.на FE и DP е успор.на FE;AF=[tex]\mu[/tex]у,FC=у,ЕС=х,ВЕ=[tex]\lambda[/tex]х,AD=mz,DB=nz
DT:TC=?
[tex]\triangle[/tex] FEC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]AKC (1признак) [tex]\frac{FC}{AC}[/tex]=[tex]\frac{EC}{KC}[/tex] ; [tex]\frac{у}{у+\muу}[/tex]=[tex]\frac{х}{КС}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] КС=х(1+[tex]\mu[/tex]) ; ЕК=СК-СЕ=х+[tex]\mu[/tex]х-х=[tex]\mu[/tex]х т.е. ЕК=[tex]\mu[/tex]х
[tex]\triangle[/tex]АВК[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]DBP (1 признак) [tex]\frac{AB}{DB}[/tex]=[tex]\frac{BK}{BP}[/tex] =[tex]\frac{BE-KE}{BP}[/tex] ; [tex]\frac{(m+n)z}{nz}[/tex]=[tex]\frac{\lambdaх-\muх}{ВР}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ВР=[tex]\frac{nх(\lambda-\mu)}{m+n}[/tex]

DP успоредна на ТЕ (Талес) [tex]\frac{DT}{TC}[/tex]=[tex]\frac{PE}{EC}[/tex]=[tex]\frac{BE-BP}{EC}[/tex]=[tex]\frac{\lambdaх-\frac{nх(\lambda-\mu)}{m+n}}{х}[/tex]=[tex]\frac{х\lambda(m+n)-хn(\lambda-\mu)}{х(m+n)}[/tex]=

=[tex]\frac{х}{х}[/tex][tex]\frac{m\lambda+n\lambda-n\lambda+n\mu}{m+n}[/tex]=[tex]\frac{m\lambda+n\mu}{m+n}[/tex]

[ева]

117 зад. [tex]\triangle[/tex]АВС,К(О;r)-вписана,т.D,т.Е,т.R,т.Т лежат на АС,ВС,ВС,АВ като DE и TR са допирателни към К.К се допира до ВС и АВ в т.Р и т.Н ;т.Q-среда на DE;PC=m,BP=n,нека QE=а. //DE=2a=? TR=?
[tex]\triangle[/tex]ОРС[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]НВС (1 пр.) [tex]\frac{РС}{НС}[/tex]=[tex]\frac{ОС}{ВС}[/tex] т.е.[tex]\frac{m}{h}[/tex]=[tex]\frac{h-r}{m+n}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] r=[tex]\frac{h^{2}-m^{2}-mn}{h}[/tex] (1)
[tex]\triangle[/tex]ОРС-правоъг. [tex]ОР^{2}[/tex]+[tex]РС^{2}[/tex]=[tex]ОС^{2}[/tex] ; [tex]r^{2}[/tex]+[tex]m^{2}[/tex]=[tex](h-r)^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] r=[tex]\frac{h^{2}-m^{2}}{2h}[/tex] (2)
от (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] h=[tex]\sqrt{m^{2}+2mn}[/tex] ,r=[tex]\frac{mn\sqrt{m^{2}+2mn}}{m^{2}+2mn}[/tex]
[tex]\triangle[/tex]QEC-правоъг. [tex]QE^{2}[/tex]+[tex]QC^{2}[/tex]=[tex]EC^{2}[/tex] т.е. [tex]a^{2}[/tex]+[tex](h-2r)^{2}[/tex]=[tex](m-a)^{2}[/tex] [PE=QE допират.от външна т.]
...a=[tex]\frac{-h^{2}+4rh-4r^{2}+m^{2}}{2m}[/tex] (вече намерените h,r- зам.тук)
...a=[tex]\frac{mn}{m+2n}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] DE=[tex]\frac{2mn}{m+2n}[/tex]

[ева]

117 зад. Нека TR се допира до К в т.L.,LR=b=?
[tex]\triangle[/tex]OBP[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]LBR (1 пр.)[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ОP}{LR}[/tex]=[tex]\frac{BO}{BR}[/tex] т.е. [tex]\frac{r}{b}[/tex]=[tex]\frac{BO}{n-b}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] BO=[tex]\frac{r(n-b)}{b}[/tex] (3)
[tex]\triangle[/tex]OBP-правоъг. [tex]BO^{2}[/tex]=[tex]r^{2}[/tex]+[tex]n^{2}[/tex] (4) [зам.(3) в (4)]

...n[tex]b^{2}[/tex]+2[tex]r^{2}[/tex]b-n[tex]r^{2}[/tex]=0 ; D=[tex]r^{4}[/tex]+[tex]n^{2}[/tex][tex]r^{2}[/tex]; [tex]b_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{-r^{2}\pm\sqrt{r^{4}+n^{2}r^{2}}}{n}[/tex] ; [tex]b_{2 }[/tex]<0 не е реш. (ползваме намереното r=[tex]\frac{mn\sqrt{m^{2}+2mn}}{m^{2}+2mn}[/tex]) ...

b=[tex]\frac{mn(\sqrt{2m^{2}+2mn}-1)}{m+2n}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] TR=2LR=[tex]\frac{2mn(\sqrt{2m^{2}+2mn}-1)}{m+2n}[/tex]

Скрит текст: покажи

Греша ли,или отг.е грешен

[Milenaa]

Благодаря !