Логаритъм

[Гост]

3 задачи

[Петър Евгениев]

а)[tex]log_{n}m=\sqrt{2}; log_{n^{2}m}\frac{n^{2}}{m}=?[/tex]
[tex]n^{\sqrt{2}}=m \Rightarrow log_{n^{2}n^{\sqrt{2}}}n^{2}n^{-\sqrt{2}}=log_{n^{2+\sqrt{2}}}n^{2-\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}log_{n}n=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}[/tex]

[S.B.]

Зад 1) [tex]log_{n }[/tex]m = [tex]\sqrt{2}[/tex] и [tex]log_{n^{2}m }[/tex]([tex]\frac{n^{2}}{m}[/tex])
Правим смяна на основата ([tex]n^{2}[/tex]m) с (n) :[tex]log_{n^{2}m }[/tex]([tex]\frac{n^{2}}{m})[/tex] =[tex]\frac{log_{n }\frac{n^{2}}{m}}{log_{n }n^{2}m}[/tex] =[tex]\frac{log_{n }n^{2} - log_{n }m}{log_{n }n^{2} + log_{n }m}[/tex] =
= [tex]\frac{2log_{n }n -\sqrt{2}}{2log_{n }n + \sqrt{2}}[/tex] = [tex]\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}[/tex] =[tex]\frac{(2 - \sqrt{2})^{2}}{2^{2} - (\sqrt{2})^{2}}[/tex] =[tex]\frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{4 - 2}[/tex] =[tex]\frac{6 - 4\sqrt{2}}{2}[/tex] =3 - 2[tex]\sqrt{2}[/tex]

[S.B.]

Зад.2)[tex]log_{12 }[/tex]27 = a да се пресметне [tex]log_{6 }[/tex] 16=?
Преминавам към основа 3 и при двата логъритъма:
[tex]log_{12}[/tex]27 = [tex]\frac{log_{3 }27}{log_{3 }12}[/tex] =[tex]\frac{3log_{3 }3}{log_{3 }3 + log_{3 }2^{2}}[/tex] =[tex]\frac{3}{1 + 2log_{3 }2}[/tex] = a; от [tex]\frac{3}{1 + 2log_{3 }2}[/tex] = a [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]log_{3 } 2[/tex] = [tex]\frac{3 - a}{2a}[/tex]
[tex]log_{6 }[/tex]16 = [tex]\frac{log_{3 }16}{log_{3 }6}[/tex] =[tex]\frac{log_{3 }2^{4}}{log_{3 }3.2}[/tex] =[tex]\frac{4log_{3 }2}{log_{3 }3 +2 log_{3 }2}[/tex] = [tex]\frac{4log_{3 }2}{1 +2 log_{3 }2}[/tex] замествам [tex]log_{3 }[/tex]2 = [tex]\frac{3 - a}{2a }[/tex] и се получава:
[tex]log_{6 }[/tex]16 = [tex]\frac{2(3 - a)}{3 + a}[/tex]

[S.B.]

Зад.3)[tex]log_{30 }[/tex]3 = a , [tex]log_{30 }[/tex]5 = b , [tex]log_{30 }[/tex]8 = ?
[tex]log_{30 }[/tex]30 =1 или [tex]log_{30}[/tex]2.3.5 = [tex]log_{30 }[/tex]2 + [tex]log_{30 }[/tex]3 + [tex]log_{30 }[/tex]5 = 1[tex]\Rightarrow[/tex][tex]log_{30 }[/tex]2 + a + b = 1 от тук следва,че :[tex]log_{30 }[/tex]2 = 1 - a - b;
[tex]log_{30 }[/tex]8 = [tex]log_{30 }[/tex][tex]2^{3}[/tex] = 3[tex]log_{30 }[/tex]2 ,но получихме че [tex]log_{30 }[/tex]2 = 1 - a - b,следователно [tex]log_{30 }[/tex]8 = 3(1 - a - b)

[S.B.]

Искам да направя корекция в зад 2. При пеминаване от основа 6 към основа 3 съм допуснала грешка
[tex]log_{6 }[/tex]16 = [tex]\frac{log_{3 }16}{log_{3 }6}[/tex] =[tex]\frac{log_{3 }2^{4}}{log_{3 }2.3}[/tex]=[tex]\frac{4log_{3 }2}{log_{3 }2 + log_{3 }3}[/tex] =[tex]\frac{4log_{3 }2}{log_{3 }2 + 1}[/tex] Замествам [tex]log_{3 }[/tex]2 = [tex]\frac{3 - a}{2a}[/tex] и получавам:
[tex]log_{6 }[/tex]16 = [tex]\frac{4(3 - a)}{3 + a}[/tex]