Правилна пирамида

[Гост]

В правилна четириъгълна пирамида ABCDM разстоянието между правите AD и BM е равно на корен втори от 2 , а ъгълът между правата AC и равнината BCM е равен на 30°. Да се намери обемът.

[S.B.]

Правилна четириъгълна пирамида ABCDM,където M е върхът,ABCD е основата - квадрат,а околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.
Правите AD и BM са кръстосани - не лежат в една равнина.BM лежи в равнината BАM, a правата AD я "пробожда " в т.А;
Построявам в равнината ABM AN[tex]\bot[/tex]BM;AN е разстоянието между AD и BM и AN=[tex]\sqrt{2}[/tex] според условието;
Ъгълът между AC и равнината BCM e ъгълът между AC и проекцията на AC в BCM,която е CN;[tex]\angle[/tex](AC,CN) = 30[tex]^\circ[/tex] по условие;
Разгл.[tex]\triangle[/tex]АNC - равнобедрен (защото [tex]\triangle[/tex]ABN[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]BCN).Прилагам за него кос. т-ма:[tex]АC^{2}[/tex] = [tex]AN^{2}[/tex] + [tex]CN^{2}[/tex] - 2.AN.CN.cos120[tex]^\circ[/tex]
[tex]AC^{2}[/tex]= 6 или AC=[tex]\sqrt{6}[/tex] и понеже AC е диагонал в квадрата ABCD - получавам че осн.ръб а=[tex]\sqrt{3}[/tex],а [tex]B_{осн }[/tex] = 3;
Разглеждам ок.стена [tex]\triangle[/tex]АBM;AN[tex]\bot[/tex]BM и ако [tex]\angle[/tex]MBA = [tex]\alpha[/tex],то [tex]\frac{AN}{AB}[/tex] = sin[tex]\alpha[/tex] или sin[tex]\alpha[/tex]= [tex]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex],а съответно cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex];
В [tex]\triangle[/tex]ABM построявам MK[tex]\bot[/tex]AB и от правоъг.[tex]\triangle[/tex]MKB - [tex]\frac{KB}{MB}[/tex]= cos[tex]\alpha[/tex] или [tex]\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{MB}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] или МB = [tex]\frac{3}{2}[/tex] ( MC = MB = [tex]\frac{3}{2}[/tex])
През MC и AC построявам сечение ACM - равнобедрен триъгълник,а MO[tex]\bot[/tex]AC е негова височина,която се явява и височина на пирамидата;От [tex]\triangle[/tex]ОМC,правоъгълен по Питагор [tex]ОМ^{2}[/tex] = [tex]CM^{2}[/tex] - [tex]CO^{2}[/tex] или ОМ = [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] Обемът V= [tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]B_{осн }[/tex].OM или
V=[tex]\frac{1}{3}[/tex].3.[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] Окончателно V = [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]