Най-голяма стойност на cotg

[Гост]

Триъгълникът ABC е правоъгълен с хипотенуза AB и медицентър M. Намерете най-голямата възможна стойност на [tex]cotg \angle AMB[/tex].

[ptj]

[tex]ctg(x)[/tex] e намаляваща функция за [tex]\frac{\pi}{2}<x<\pi[/tex], сл. задачата се свежда до намиране на минимума на [tex](\angle {AMB}=\varphi)[/tex].
Нека [tex]т.О[/tex] е среда на [tex]AB[/tex]. Реално задачата се трансформира в следната:
Фиксирана отсечка [tex]AB[/tex] със среда [tex]O[/tex]. Точка [tex]M[/tex] се движи по полуокръжност с център [tex]O[/tex] и радиус [tex]ОМ=\frac{1}{6}AB[/tex]. Търси се [tex]\min(\varphi)[/tex].

Понеже [tex]\frac{\pi}{2}<\varphi<\pi[/tex], а функцията [tex]sin(\varphi)[/tex] е намаляваща в споменатия интервал, то може да търсим максимума на [tex]\sin(\varphi)[/tex]. Съобразявайки, че [tex]AB[/tex] e фиксирана, от синусова теорема за [tex]\triangle AMB[/tex], може да минем към намиране минимума на описаната окръжност за [tex]\triangle AMB[/tex].

[ptj]

Не ползвам софтуер за чертежи, затова само ще маркирам идеята:

Центъра [tex]P[/tex] на описаната окръжност лежи на симетралите на [tex]AB[/tex] и [tex]AM[/tex]. Може да се опитате да докажете, че когато височината [tex]CH[/tex] намаля - [tex]OP[/tex] расте. Тогава от питагорова теорема автоматично ще следва, че минимума на радиуса на описаната окръжност съответства на минимум на [tex]OP[/tex] и максимум на [tex]CH[/tex], т.е. когато [tex]H\equiv O[/tex].

[Hephaestus]

За удобство да означим [tex]BC = a, AC = b, AA_{1 } = m_{a }[/tex] (медианата през върха А), [tex]BB_{1 } = m_{b }[/tex] (медианата през върха В) и [tex]cotg \angle AMB = \varphi[/tex].
От [tex]S_{ABC } = 3S_{AMB } \Rightarrow \frac{ab}{2} = 3.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}m_{a }.\frac{2}{3}m_{b }sin\varphi \Rightarrow 3ab = 4m_{a }m_{b }sin\varphi[/tex] (*).
Използвайки питагоровата теорема, изразяваме [tex]m_{a }[/tex][tex]= \sqrt{b^{2} + \frac{a^{2}}{4}}[/tex], [tex]m_{b }[/tex][tex]= \sqrt{a^{2} + \frac{b^{2}}{4}}[/tex], след което като заместим в (*) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin\varphi[/tex] [tex]= \frac{3ab}{\sqrt{4b^{2}+a^{2}}\sqrt{4a^{2}+b^{2}}}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin^{2}\varphi[/tex] [tex]= \frac{9a^{2}b^{2}}{(4b^{2}+a^{2})(4a^{2}+b^{2})}[/tex].

Намираме [tex]cos^{2}\varphi = 1 - sin^{2}\varphi = \frac{4(a^{4} + 2a^{2}b^{2} + b^{4})}{(4b^{2}+a^{2})(4a^{2}+b^{2})}[/tex]. Представяме [tex]cotg^{2}\varphi = \frac{cos^{2}\varphi}{sin^{2}\varphi} = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{b^{2}} + 2 + \frac{b^{2}}{a^{2}}).[/tex]
Понеже [tex]\angle AMB = \varphi > 90^\circ[/tex], то [tex]cotg\varphi < 0 \Rightarrow cotg\varphi[/tex] ще има възможно най-голяма стойност, когато изразът [tex]\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}}[/tex] е най-малък. От основното неравенство [tex](a^{2} - b^{2})^{2} \ge 0 \Rightarrow a^{4} + b^{4} \ge 2a^{2}b^{2}[/tex], като разделим на [tex]a^{2}b^{2} \ne 0[/tex] (a,b са страни в триъгълник), получаваме [tex]\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}} \ge 2 \Rightarrow[/tex] изразът е най-малък при [tex]\frac{a}{b} = 1[/tex], т.е. при [tex]a = b \Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}} = 2[/tex] [tex]\Rightarrow
cotg^{2} \varphi = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{b^{2}} + 2 + \frac{b^{2}}{a^{2}}) = \frac{4}{9}.4 = \frac{16}{9}[/tex] и тогава [tex]cotg \varphi = cotg \angle AMB = -\frac{4}{3}[/tex] и това е търсената възможно най-голяма стойност.