Задачи

[Гост]

Трябва да реша 8 от тези задачи с всички подточки към тях. Задачите са от учебника за 12 клас профилирана подготовка. Ще съм ви благодарен ако можете да ми помогнете.

[Гост]

Забравих да отбележа, без подточки а, б, в на първа задача

[S.B.]

Зад.1 ж): ДМ; х[tex]\ne[/tex]0
[tex]x^{2}[/tex] + [tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex] + х + [tex]\frac{1}{х}[/tex] = 4 Полагаш : х + [tex]\frac{1}{х}[/tex] = t ; [tex]x^{2}[/tex] + [tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex] = [tex]( x + \frac{1}{x})^{2}[/tex] - 2.x.[tex]\frac{1}{x}[/tex] = [tex]t^{2}[/tex] - 2 ; Сега заместваш и получаваш:
[tex]t^{2}[/tex] - 2 + t =4 или [tex]t^{2}[/tex] + t - 6 = 0 от където [tex]x_{1 }[/tex] = - 3 ; [tex]x_{2 }[/tex] = 2; Сега връщаш субституцията:
х + [tex]\frac{1}{х}[/tex] = - 3[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex] + 3х +1 = 0 от където [tex]x_{1 }[/tex]= [tex]\frac{- 3 - \sqrt{5}}{2}[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{- 3 + \sqrt{5}}{2}[/tex]
х + [tex]\frac{1}{х}[/tex] = 2 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]x^{2}[/tex] - 2х + 1 = 0 от където [tex]x_{3 }[/tex] = [tex]x_{4 }[/tex] = 1

[Петър Евгениев]

Е те това е домашно, хаха
Задача 3 a) [tex]|x+2|+|x-3|=10[/tex]
Разделяме числовата ос на три интервала с помощта на двете критични точки(корените на модулите) [tex]x=-2 ,x=3[/tex]
Т.е имаме: [tex]I.) (-\infty;-2)[/tex], [tex]II.) (-2;3)[/tex], [tex]III.) (3;+\infty)[/tex]
[tex]I.)(-\infty;-2)[/tex]:
[tex]x+2\rightarrow -[/tex]
[tex]x-3\rightarrow -[/tex]
[tex]II.) (-2;3)[/tex]
[tex]x+2\rightarrow +[/tex]
[tex]x-3\rightarrow -[/tex]
[tex]III.)(3;+\infty)[/tex]
[tex]x+2\rightarrow +[/tex]
[tex]x-3\rightarrow +[/tex]
Сега разкриваш модулите за всеки едни от трите случая със съответните знаци на модула, които намерихме.
[tex]I.)-(x+2)+(-(x-3))=10 \Leftrightarrow -x-2-x+3-10=0 \Leftrightarrow -2x-9=0 \Rightarrow 2x=-9 \Rightarrow x=\frac{-9}{2}=-4,5[/tex], Налага се да проверяваме за чужди корени, като въпросният корен видим дали е от интервала от които сме разкрили знаците на модулите в случая [tex]x=-4,5\in I.)(-\infty;-2) \Rightarrow[/tex] е корен на уравнението.
[tex]II.)x+2-x+3-10=0 \Leftrightarrow 0.x=5[/tex]което няма решение
[tex]III.)x+2+x-3-10=0 \Leftrightarrow 2x=11 \Rightarrow x=5,5\in III.)(3;+\infty)[/tex]значи е корен.

[S.B.]

Зад.1 м): х(х + 1)(х - 1)(х + 2) = 24 [tex]\Rightarrow[/tex] ([tex]x^{2}[/tex] + х)([tex]x^{2}[/tex] + 2х - х - 2) = 24[tex]\Rightarrow[/tex] ([tex]x^{2}[/tex] + х)([tex]x^{2}[/tex] + х - 2) = 24
Полагаш [tex]x^{2}[/tex] + х = t и получаваш : t(t - 2) = 24 или [tex]t^{2}[/tex] - 2t -24 = 0 от където [tex]t_{1 }[/tex] = 6 и [tex]t_{2 }[/tex] = -4;
Връщаш субституцията: [tex]x^{2}[/tex] + x = 6 и [tex]x^{2}[/tex] + х = -4 за първия случай получаваш [tex]x_{1 }[/tex]= 2 и [tex]x_{2 }[/tex] = -3
При втория случай D= -16 < 0 и няма реално решение

[Петър Евгениев]

Задача 6 [tex]\frac{(x+2)(3-x)}{(x+3)}>0[/tex], Метод на интервалите.
[tex]x=-2 ,x=3, x\ne -3[/tex]
Започваме от ляво на дясно да слагаме редуващи сезнаци в интервалите започвайки от минус, защото ако разкриеш скобите ще имаш пред най-високата степен на хикс отрицателен коефициент
[tex]x\in(-\infty;-3)\cup(-2;3)[/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 6 б) [tex]\frac{(x-2)(3-x)^{2}}{(x+2)^{2}}<0[/tex]
Четни корени: [tex]x=3, x\ne-2[/tex]
Нечетен корен:[tex]x=2[/tex]
[tex]\frac{(x-2)(3-x)^{2}}{(x+2)^{2}}=\frac{(x-2)(x-3)^{2}}{(x+2)^{2}}<0[/tex] [tex](a-b)^{2}=(-(b-a))^{2}=(b-a)^{2}[/tex]
Започваме с + най-отляво защото, коефициента пред най-високата степен е положителен върху положителен , всеедно имаме {tex]\frac{+}{+}=+[/tex]
След четен корен знака не се сменя, можеш да видиш ,защо на графиката на функцията
[tex]x\in(-\infty;-2)\cup(-2;2)[/tex]

[S.B.]

Зад.11 г)
[tex]log_{3 }[/tex]x + [tex]log_{x }[/tex]9 = 3 ДМ : х.0 , x[tex]\ne[/tex]1
Преминаваш към основа 3 :[tex]log_{3 }[/tex]x + [tex]\frac{log_{3 }9}{log_{3 }x}[/tex] = 3 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]log_{3 }[/tex]x + [tex]\frac{2log_{3 }3}{log_{3 }x}[/tex] = 3
Полагаш [tex]log_{3 }[/tex]x = y заместваш и получаваш : y + [tex]\frac{2}{y}[/tex] = 3[tex]\Rightarrow[/tex][tex]y^{2}[/tex] - 3y + 2 = 0 от където [tex]y_{1 }[/tex] = 1 и [tex]y_{2 }[/tex] = 2
Сега връщаш субституцията : [tex]log_{3 }[/tex]x = 1 от където [tex]x_{1 }[/tex] = 3 и [tex]log_{3 }[/tex]x = 2 от където [tex]x_{2 }[/tex] = 9

[Петър Евгениев]

Задача 6 в) [tex]\frac{x+7}{5-x}\le \frac{3x+1}{2}[/tex]
[tex]\frac{x+7}{5-x}-\frac{3x+1}{2}\le 0[/tex]
[tex]\frac{2x+14-(5-x)(3x+1)}{2(5-x)}\le 0[/tex]
[tex]\frac{2x+14-(15x+5-3x^{2}-x)}{2(5-x)}\le 0[/tex]
[tex]\frac{2x+14-15x-5+3x^{2}+x}{2(5-x)}\le 0[/tex]
[tex]\frac{3x^{2}-12x+9}{2(5-x)}\le 0[/tex], разлагаш квадратния тричлен в числителя
[tex]3x^{2}-12x+9=(x-1)(x-3)[/tex]
[tex]\frac{(x-1)(x-3)}{2(5-x)}\le 0[/tex]
Всички корени и ДС, са от първа степен(четна) значи ще си редуваме знаците нормално
[tex]x=1, x=3, x\ne5[/tex]
[tex]x\in[1;3]\cup (5;+\infty)[/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 6 г) [tex]\frac{5x+4}{3+x}-\frac{2+x}{1-x}\le 0[/tex]
[tex]\frac{(1-x)(5x+4)-(3+x)(2+x)}{(x+3)(1-x)}\le 0[/tex]
[tex]\frac{5x+4-5x^{2}-4x-6-3x-2x-x^{2}}{(x+3)(1-x)}\le 0[/tex]
[tex]\frac{5x+4-5x^{2}-4x-6-3x-2x-x^{2}}{(x+3)(1-x)}\le 0[/tex]
[tex]\frac{-6x^{2}-4x-2}{(x+3)(1-x)}\le 0[/tex]
Квадратния тричлен в числителя няма реални корени, и коефициента пред [tex]x^{2}[/tex], демек параболата е като захлупена чаша или купа сено... и е изцяло разположена под абсцисата [tex]Ox[/tex], демек винаги ще е - каквото и хикс да сложиш
[tex](x+3)(1-x)> 0[/tex]защото числителя е винаги минус, значи минус върху плюс ще да е минус няма кво друго и махаш равното, защото на нула не се дели
[tex]x\ne-3, x\ne1[/tex]
[tex]x\in(-3;1)[/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 6 д)[tex]|x^{2}+2x-4|>4[/tex], модул > от нещо значи модула по-голям от същото нещо или модула по-малък от отрицателното нещо обединяваш ги двете и готово
[tex]x^{2}+2x-4>4[/tex] или [tex]x^{2}+2x-4<-4[/tex]
[tex]x^{2}+2x+8>0[/tex] или [tex]x^{2}+2x<0[/tex]
Няма реални корени , параболата е изцяло над абсцисата, и за всяко хикс е положително.(първото) е туй
[tex]x(x+2)<0 \Rightarrow x\in (-2;0)[/tex]

[S.B.]

Зад 11.г
[tex]4^{х}[/tex] + 2.[tex]6^{х}[/tex] - 3.[tex]9^{х}[/tex] = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]2^{2х}[/tex] + 2.[tex]2^{х}[/tex].[tex]3^{х}[/tex] - 3.[tex]3^{2х}[/tex] = 0 Това е хомогенно уравнение.Делим на [tex]3^{2х}[/tex][tex]\ne[/tex]0 и получаваме:
[tex](2/3)^{2х}[/tex] + 2.[tex](2/3)^{х}[/tex] -3 =0 Полагаме [tex](2/3)^{х}[/tex] = t>0 заместваме и получаваме:
[tex]t^{2}[/tex] + 2t - 3 =0 от където се получават [tex]t_{1 }[/tex] = 1 и [tex]t_{2 }[/tex] = -3<0 или [tex]t_{2 }[/tex] не удовлетворява условието t>0
Връщаме субституцията : [tex](2/3)^{х}[/tex] = 1 или [tex](2/3)^{х}[/tex] = [tex](2/3)^{0}[/tex] от където х=0

[Петър Евгениев]

Задача 6 е)[tex]x^{2}+|6x-24|\le 16[/tex]
[tex]I.)x^{2}+6x-24-16\le 0[/tex], когато [tex]x\ge 4[/tex]
[tex]II.)x^{2}-6x+24-16\le 0[/tex], когато [tex]x<4[/tex]
[tex]I.)x\in[-10;4][/tex], и [tex]x\ge 4[/tex], изпълнено е когато [tex]x=4[/tex]
[tex]II.)x\in[2;4][/tex], и [tex]x<4[/tex], изпълнено е в интервала [tex]x\in[2;4)[/tex]
Взимаш сечението [tex]I.)\cap II.)[/tex] и става [tex]x\in[2;4][/tex]

[ева]

1 зад. д) [tex]x^{6}[/tex]+9[tex]x^{3}[/tex]+8=0
полаг.[tex]x^{3}[/tex]=у и получаваме [tex]у^{2}[/tex]+9у+8=0 ; D=81-32=49
[tex]у_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{-9\pm7}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]у_{1 }[/tex]=-1; [tex]у_{2 }[/tex]=-8 (към полаг.)
[tex]x^{3}[/tex]=-1 или [tex]x^{3}[/tex]=-8
[tex]x^{3}[/tex]=[tex](-1)^{3}[/tex] или [tex]x^{3}[/tex]=[tex](-2)^{3}[/tex]
х=-1 или х=-2
отг.-1;-2

[Петър Евгениев]

Задача 7 а)[tex]x^{3}+5x^{2}+4x<0[/tex], имаш общ множител х за всички събираеми ,изкараш го пред скоби и става: [tex]x(x^{2}+5x+4)<0[/tex]
[tex]x^{2}+5x+4=(x+1)(x+4)[/tex]
[tex]x(x+1)(x+4)<0[/tex],всички корени са от първа(нечетна степен), значи няма да се притесняваш за редуването на знаците, ще се редуват нормално
[tex]x=0, x=-1, x=-4[/tex]
[tex]x\in (-\infty;-4)\cup(-1;0)[/tex]

[Петър Евгениев]

[tex]\frac{(x-2)(x-1)}{x^{2}+4x+4}\le 0[/tex]
[tex]x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}[/tex], един двоен корен има, знаменателя, то е винаги по-голямо или раво на нула , но тъй, като на нула не се дели
[tex]\frac{(x-2)(x-1)}{(x+2)^{2}}\le0[/tex]
[tex]x=2, x=1, x\ne-2, x\ne-2[/tex], написах го два пъти, това защото е на втора(т.е четна степен) и преди и след него ще има един знак
[tex]x\in [1;2][/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 7 в)[tex]\frac{7}{(x-2)(x-3)}+\frac{9}{x-3}+1\le 0[/tex]
[tex]\frac{7+9(x-3)+(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}\le 0[/tex] При неравенствата не се освобождавай от знаментел.
[tex]\frac{7+9x-27+x^{2}-3x-2x+6}{(x-2)(x-3)}\le 0[/tex]
[tex]\frac{x^{2}+4x-14}{(x-2)(x-3)}\le 0[/tex]
[tex]x^{2}+4x-14=0, D=16+4.14=16+56=72[/tex]
[tex]x_{1;2}=\frac{-4\pm 6\sqrt{2}}{2}=-2\pm3\sqrt{2}[/tex]
[tex]x\ne 2 , x\ne 3[/tex]
[tex]x\in [-2-3\sqrt{3};2)\cup [-2+3\sqrt{2};3)[/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 7 г)[tex]|x+3|+|x-4|\le 11[/tex]
[tex]x=-3, x=4[/tex]
[tex]I.)x\in(-\infty;-3)[/tex]
[tex]II.)x\in (-3;4)[/tex]
[tex]III.)x\in(4;+\infty)[/tex]
[tex]x+3;x-4[/tex]
[tex]I.)-;-[/tex]
[tex]II.)+;-[/tex]
[tex]III.)+;+[/tex]
[tex]I.)-x-3-x+4-11\le 0, -2x\le 10, x\ge -5\cap I.) \Leftrightarrow x\ge -5\cap x\in(-\infty;-3)\Leftrightarrow x\in[-5;-3)[/tex] търсиш сечението на двете защото, за взаимоизключват, и трябва само общото да вземеш
Ще го довърша после, че влизам в час.

[Петър Евгениев]

Задача 7 г)[tex]|x+3|+|x-4|\le 11[/tex]
[tex]x=-3, x=4[/tex]
[tex]I.)x\in(-\infty;-3)[/tex]
[tex]II.)x\in (-3;4)[/tex]
[tex]III.)x\in(4;+\infty)[/tex]
[tex]x+3;x-4[/tex]
[tex]I.)-;-[/tex]
[tex]II.)+;-[/tex]
[tex]III.)+;+[/tex]
[tex]I.)-x-3-x+4-11\le 0, -2x\le 10, x\ge -5\cap I.) \Leftrightarrow x\ge -5\cap x\in(-\infty;-3)\Leftrightarrow[/tex] [tex]x\in[-5;-3)[/tex] търсиш сечението на двете защото, за взаимоизключват, и трябва само общото да вземеш
Ще го довърша после, че влизам в час.

[tex]II.)x+3-x+4-11\le 0\Leftrightarrow 0.x-4<0[/tex]всяко хикс ,но [tex]II.) x\in(-3;4)[/tex]
[tex]III.)x+3+x-4-11\le 0 \Leftrightarrow 2x\le 12\Rightarrow x\le 6[/tex], обаче [tex]III.)x\in(4;+\infty)[/tex]
[tex]x\le 6\cap III.)x\in(4;+\infty)\Leftrightarrow[/tex] [tex]x\in(4;6][/tex]
Проверяваш, че при х=-3, х=4 неравенството е изпълнено значи може да сложим целия интервал от -5 до 6
[tex]x\in[-5;-3)\cup x\in(-3;4)\cup x\in(4;6][/tex]
[tex]x\in[-5;6][/tex], Каквото и да вземеш от този интервал, ще удовлетворява неравенството.

[Петър Евгениев]

Задача 7 д)[tex]|x^{2}-1|<x^{2}-|x|+1[/tex]
[tex]x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1[/tex]
[tex]x=0[/tex]
Разделяме числовата ос на четири интервала разделяни от 3 критични точки.
[tex]I.) (-\infty;-1)[/tex]
[tex]II.) (-1;0)[/tex]
[tex]III.) (0;1)[/tex]
[tex]IV.) (1;+\infty)[/tex]
Намираме знаците вътре в модулите.
[tex]x^{2}-1;x[/tex]
[tex]I.)+,-[/tex]
[tex]II.)--[/tex]
[tex]III.)-+[/tex]
[tex]IV.)++[/tex]
[tex]I.) +(x^{2}-1)<x^{2}+x+1 \Rightarrow x>-2[/tex], но [tex]x\in (-\infty;-1)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x\in(-2;1)[/tex](Засякох(сечение) на това което получих като разкрих модулите със съответните знаци от дадения интервал с дадения интервал.)
II.)-x^{2}+1<x^{2}+x+1 \Leftrightarrow x\in(-\infty;\frac{1}{2})\cup(0;+infty)[/tex], но [tex]x\in(-1;0)[/tex], значи засичаме ги и става
[tex]x\in (-1;-\frac{1}{2})\cup {0}[/tex]
III.)-x^{2}+1<x^{2}-x+1 \Rightarrow x\in(-infty;0)\cup (\frac{1}{2};+infty)[/tex], но [tex]x\in (0;1)[/tex]
[tex]x\in{0}\cup (\frac{1}{2};1)[/tex]
IV.)x^{2}-1<x^{2}-x+1 \Rightarrow x<2[/tex], но [tex]x\in (1;+infty) \Rightarrow x\in (1;2)[/tex]
Обединяваме четирите случая и имаме формално [tex]x\in (-2;-1)\cup {0}\cup (-1;-\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2};1)\cup (1;2)[/tex], но , при [tex]x=-1[/tex] и [tex]x=1[/tex], неравенството е вярно и при [tex]x=0[/tex], неравенстото не е вярно т.е верния интервал решение на това неравенство е [tex]x\in(-2;-\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2};2)[/tex]

[S.B.]

Зад.1,е) (Сега пускам решението на тази задача,която бях решила,но имах проблеми с интернета и не успях да я пусна)
[tex]\frac{x^{2} + 1}{х}[/tex] + [tex]\frac{х}{x^{2} + 1}[/tex] = [tex]\frac{29}{10}[/tex] ДМ: х [tex]\ne[/tex]0
Полагам : [tex]\frac{x^{2} + 1}{х}[/tex] = y и съответно [tex]\frac{х}{x^{2} + 1}[/tex] = [tex]\frac{1}{y}[/tex] След заместване получавам: y + [tex]\frac{1}{y}[/tex] = [tex]\frac{29}{10}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]10[tex]y^{2}[/tex] - 29y +10 =0
Корените на това уравнение са :[tex]y_{1 }[/tex] = [tex]\frac{5}{2}[/tex] и [tex]y_{2 }[/tex] = [tex]\frac{2}{5}[/tex] Сега връщаме субституцията:
[tex]\frac{x^{2} + 1}{х}[/tex] = [tex]\frac{5}{2}[/tex] от където : 2[tex]x^{2}[/tex] - 5х + 2 = 0 ,което има корени :[tex]x_{1 }[/tex] = 2 и [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] ,които принадлежат на ДМ;
[tex]\frac{x^{2} + 1}{х}[/tex] = [tex]\frac{2}{5}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]5[tex]x^{2}[/tex] - 2х + 5 = 0 , за което D=-96<0 и няма реални корени;
Решенията са [tex]x_{1 }[/tex] = 2 и [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 8 а)[tex](x^{2}+1)\sqrt{2x-1}=0[/tex] [tex]A.B=0[/tex] Винаги един от двата множителя е нула или и двата са нула. тоест [tex]A=0[/tex] или [tex]B=0[/tex], или означава ,че едното не изключва другото в нашия случай, може едното да нула, може другото да е може и двете не знаем.
Към задачата.
[tex]x^{2}+1=0[/tex] или [tex]\sqrt{2x-1}=0[/tex]
[tex]x^{2}=-1[/tex]
Няма такова реално число, което като го повдигнеш на квадрат да ти даде отрицателно число, т.е няма реални корени това уравнение.
Значи остава [tex]\sqrt{2x-1}=0[/tex]
Някакъв корен да бъде нула, значи подкоренната величина трябва да бъде нула.
[tex]2x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}[/tex]
б)[tex]\sqrt{6-x-x^{2}}=x+4[/tex] ДС:[tex]6-x-x^{2}\ge 0[/tex] и [tex]x+4\ge 0[/tex] Забележи "и" има логическо значение, то ти казва, че взимаш само общото между двете, демек система.
[tex]6-x-x^{2}\ge 0|.(-1) \Leftrightarrow x^{2}+x-6\le 0 \Rightarrow x_{1;2}=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2}[/tex]
[tex]x_{1}=2, x_{2}=-3[/tex], Метод на интервалите, който трябва да го сънуваш вече.
[tex]x\in [-3;2][/tex] и [tex]x+4\ge 0;x\ge -4[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}x\in [-3;2]\\x\ge -4 \end{array} \Rightarrow[/tex] [tex]x\in [-3;2][/tex]
Сега след като намерихме допустимите стойности можем да повдигнем на квадрат двете страни на уравнението.
[tex]\sqrt{6-x-x^{2}}=x+4|^{2} \Rightarrow 6-x-x^{2}=x^{2}+8x+16 \Rightarrow 2x^{2}+9x+10=0 \Rightarrow x_{1}=-\frac{5}{2}, x_{2}=-2[/tex]
ДС:[tex]x\in [-3;2][/tex] [tex]x_{1}=-2,5\in [-3;2][/tex]
[tex]x_{2}=-2\in [-3;2][/tex]

[S.B.]

Зад.11,к)
[tex]log_{2 }[/tex][tex]log_{3 }[/tex]([tex]x^{2}[/tex] - 16) - [tex]log_{\frac{1}{2} }[/tex][tex]log_{\frac{1}{3} }[/tex][tex]\frac{1}{x^{2} - 16}[/tex] =2
ДМ: [tex]x^{2}[/tex] - 16 > 0 или (х -4)(х +4) >0 от където х[tex]\in[/tex] ( - [tex]\infty[/tex] , -4)[tex]\cup[/tex] (4 , +[tex]\infty[/tex])
Преминавам от осн. [tex]\frac{1}{3}[/tex] към осн. 3 :[tex]log_{\frac{1}{3} }[/tex][tex]\frac{1}{x^{2} - 16}[/tex] =[tex]log_{\frac{1}{3} }[/tex][tex](x^{2} - 16)^{- 1}[/tex] = [tex]\frac{log_{3 }(x^{2} - 16)^{- 1}}{log_{3 }\frac{1}{3}}[/tex] =[tex]\frac{- log_{3 }(x^{2} - 16)}{- log_{3 }3}[/tex] =[tex]log_{3 }[/tex]([tex]x^{2}[/tex] - 16)
Сега уравнението придобива следния вид:[tex]log_{2 }[/tex][tex]log_{3 }[/tex]([tex]x^{2}[/tex] - 16) - [tex]log_{\frac{1}{2} }[/tex][tex]log_{3 }[/tex]([tex]x^{2}[/tex] - 16) = 2
Нека [tex]log_{3 }[/tex]([tex]x^{2}[/tex] - 16) = y>0 след заместване се получава : [tex]log_{2 }[/tex]y - [tex]log_{\frac{1}{2} }[/tex]y = 2 Сега преминавам от основа [tex]\frac{1}{2}[/tex] към основа 2 :
[tex]log_{2 }[/tex]y - [tex]\frac{log_{2 }y}{log_{2 }2^{-1}}[/tex] = 2 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]log_{2 }[/tex]y + [tex]log_{2 }[/tex]y = 2 [tex]\Rightarrow[/tex] 2.[tex]log_{2 }[/tex]y = 2 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]log_{2 }[/tex]y = 1 или y=2>0
Сега връщам субституцията : [tex]log_{3 }[/tex]([tex]x^{2}[/tex] - 16) = 2 или [tex]x^{2}[/tex] - 16 = 9 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex] - 25 =0 което има корени :[tex]x_{1 }[/tex] = 5 и [tex]x_{2 }[/tex] = -5, които принадлежат на ДМ

[nikolayk]

Благодаря на всички, които ми помогнаха, от този раздел съм решил необходимия брой задачи, ще кача снимки от друг раздел, ще се радвам да можете да ми помогнете