Модулно уравнение с параметър

[Гост]

Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за които уравнението

[tex]|x^{2} + 2x| = a[/tex] има четири на брой решения

[Davids]

Имаме генерално два случая:
I) $x^2 + 2x = a$
II)$x^2 + 2x = -a$
и искаме и от двете квадратни уравнения по две решения, за да са точно четири общо всичките. Следователно това, което търсим, са две строго положителни дискриминанти, т.е.:
[tex]\begin{array}{|l} D_1 = 4 - a^2 > 0 \\ D_2 = 4 + a^2 > 0 \end{array}[/tex]
Решение на първото неравенство, а оттам и на цялата система (тъй като второто е вярно за $\forall X$), а оттам и на задачата, е $a \in (-2; 2)$

[S.B.]

I[tex]x^{2}[/tex] + 2x I = a
Уравнението има решение само при a[tex]\ge[/tex]0 (за а<0 няма решение)
Нека а = 0 Тогава [tex]x^{2}[/tex] + 2х =0 или х(х + 2) =0 от където [tex]x_{1 }[/tex]= 0 и [tex]x_{2 }[/tex] = -2
Нека а>0 Тогава [tex]x^{2}[/tex] + 2х =а или [tex]x^{2}[/tex] + 2х -а =0 За да има два различни корена трябва D>0
D = 4 + 4a = 4(1 + a)>0 или 1 + а >0 от където а >-1 но а>0 [tex]\rightarrow[/tex] D>0 за [tex]\forall[/tex]а>0 и има 2 корена:
[tex]x_{1 } = -1 + \sqrt{1 + а}[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] = -1 - [tex]\sqrt{1 + а}[/tex]
Отговорът е за а=0 има 2 корена и за [tex]\forall[/tex]а>0 - два корена [tex]\Rightarrow[/tex] а[tex]\in[/tex][0 ; +[tex]\infty[/tex])

[Hephaestus]

[tex]|x^2 + 2x| = a[/tex] се разпада на две уравнения: [tex]x^2 + 2x = a[/tex] и [tex]x^2 + 2x = -a[/tex], и понеже в условието се изисква да имаме четири решения, това значи, че всяко от двете уравнения трябва да има по две различни решения.
[tex]x^2 + 2x = a \Leftrightarrow x^2 + 2x - a = 0[/tex] има две различни решения, когато дискриминантата му е положителна [tex]\Rightarrow 4 + 4a > 0 \Rightarrow 4a > -4 \Rightarrow a > -1[/tex] (*)
Аналогично, за [tex]x^2 + 2x = -a \Leftrightarrow x^2 + 2x + a = 0[/tex] имаме [tex]4 - 4a > 0 \Rightarrow -4a > -4 \Rightarrow a < 1[/tex] (**)

Общото решение на (*) и (**) ни дава [tex]a \in (-1; 1)[/tex] и като съобразим, че [tex]a[/tex] трябва да е положително (по-точно неотрицателно) число, тъй като е резултат от модул, получаваме окончателно [tex]a \in (0; 1)[/tex].

[Gruicho]

Вярно ли е твърдението:
От горните решения има поне две грешни?

[Davids]

Вярно ли е твърдението:
От горните решения има поне две грешни?

Абсолютно си прав, а аз не знам тая неимоверна простотия откъде съм я измислил с втората степен

[S.B.]

Вярно ли е твърдението:
От горните решения има поне две грешни?

Вярно е решението на Hephaestus.Аз съм пропуснала случая когато -([tex]x^{2}[/tex] + 2х) =а
А Davids ти обясни вече какво е сбъркал.

[inveidar]

[tex]|x^2 + 2x| = a[/tex] се разпада на две уравнения: [tex]x^2 + 2x = a[/tex] и [tex]x^2 + 2x = -a[/tex], и понеже в условието се изисква да имаме четири решения, това значи, че всяко от двете уравнения трябва да има по две различни решения.

За да е коректно до край решението, би трябвало да се каже, че трябва да имат по две различни решения и те да не съвпадат, нали? В противен случай може да не са четири. В този случай уравненията [tex]x^2 + 2x = a[/tex] и [tex]x^2 + 2x = -a[/tex] имат съвпадащи решения само при [tex]a=0[/tex], защото [tex]x^2 + 2x - a=x^2 + 2x + a[/tex] е възможно само при [tex]a=0[/tex], което, както разбрахме, води до две решения, а не четири различни.

[Hephaestus]

За да е коректно до край решението, би трябвало да се каже, че трябва да имат по две различни решения и те да не съвпадат, нали? В противен случай може да не са четири. В този случай уравненията [tex]x^2 + 2x = a[/tex] и [tex]x^2 + 2x = -a[/tex] имат съвпадащи решения само при [tex]a=0[/tex], защото [tex]x^2 + 2x - a=x^2 + 2x + a[/tex] е възможно само при [tex]a=0[/tex], което, както разбрахме, води до две решения, а не четири различни.

Да, естествено. Това е отбелязано от колежката S.B. в предходния отговор. Затова не изпитах необходимост отново да го повторя. В крайния отговор съм го взел предвид, разбира се.