2018 СУ изпит Математика 2

[Гост]

Има ли публикувани решения?

[Петър Евгениев]

Потърсих, но не намерих решенията още сигурно ще ги пуснат по-късно или не знам.
Ако те интересува определена задачата, защото така или иначе ще ти ги решат дори без да ги караш тука обичаме задачи!
Ето да сефтосаме.
[tex]\frac{4x+8}{x^{2}+5x+6}\ge1[/tex]
$$\frac{4x+8}{x^{2}+5x+6}-1\ge0 \Rightarrow \frac{4x+8-x^{2}-5x-6}{x^{2}+5x+6}\ge 0 \Rightarrow \frac{-x^{2}-x+2}{x^{2}+5x+6}\le0$$
След умножение по минус 1, не е задължително се получава:
$$\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}+5x+6}\ge 0$$
Разлагаме двата квадратни тричлена и получаваме:
$$\frac{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x+3)}\le0$$
Казваме [tex]x\ne-2[/tex], и съкращаваме.(Важно е да помним това, защото това е дупка в числовата ос за нас)
$$\frac{\cancel{(x+2)}(x-1)}{\cancel{(x+2)}(x+3)}\le0 \Rightarrow \frac{x-1}{x+3}\le0$$
[tex]x=1, x\ne-3[/tex], ги нанасяме на числовата ос
Съответно виждаме, че желания интервал е: [tex]x\in(-3;1][/tex], но сега имаме и съкратеното:[tex]x\ne-2[/tex], демек има дупка в този интервал и става:[tex]\boxed{x\in(-3;-2)\cup(-2;1]}[/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 3 [tex]\sqrt{2x-1}=\sqrt{10-x}-\sqrt{2x+2}[/tex]
Първо да направим ДС:[tex]\begin{array}{|l} 2x-1\ge 0\\ 10-x\ge 0 \\ 2x+2\ge0\\10-x\ge2x+2\end{array} \Rightarrow \boxed{x\in[\frac{1}{2};\frac{8}{3}}][/tex]
След повдигане на квадрат:
$$\cancel{2x}-1=10-x-2\sqrt{(10-x)(2x+2)}\cancel{+2x}+2 \Rightarrow 13-x=2\sqrt{(10-x)(2x+2)}$$
Но сега: [tex]13-x\ge 0 \Rightarrow x\le13[/tex], което си е в нормата на на ДС.
$$169-26x+x^{2}=4(10-x)(2x+2) \Rightarrow 169-26x+x^{2}=72x+80-8x^{2}$$
$$169-26x+x^{2}=4(20x+20-2x^{2}-2x) \Rightarrow 9x^{2}-98x+89=0$$
Което има корени, [tex]x=1[/tex] и [tex]x=\frac{89}{9}\approx9,(8)[/tex]
[tex]x=1\in[/tex]ДС, [tex]x=\frac{89}{9}\approx9,(8)\notin[/tex] ДС.

[Гост]

има решения

https://intranet.fmi.uni-sofia.bg/index ... #pdfviewer

забелязвам, че с всяка изминала година нивото на трудност на изпита пада

[S.B.]

Зад.4:Страните образуват аритм. прогресия : a-d , a , a + d;триъгълникът е правоъгълен;Полупериметърът p=12:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{a - d + a + a + d}{2} = 12 \\ (a + d)^{2} = a^{2} + (a - d)^{2} \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l}3a = 24 \\(a + d)^{2} - (a - d)^{2} = a^{2} \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} a= 8 \\(a + d + a - d)(a + d - a + d) = a^{2} \end{array}[/tex]
след заместване :16.2d = 64 от където d=2;Страните на триъгълника са :6 , 8 , 10; S = [tex]\frac{6.8}{2}[/tex] = 24; Хипотенузата = 10 [tex]\rightarrow[/tex] R=5; p.r= S от където 12.r = 24 или r=2

[S.B.]

Зад.5: sinx([tex]\sqrt{3}[/tex] - 2sinx) = cosx(1 +2cosx) [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\sqrt{3}[/tex]sinx - 2[tex]sin^{2}[/tex]x = cosx + 2[tex]cos^{2}[/tex]x [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\sqrt{3}[/tex]sinx - cosx = 2[tex]sin^{2}[/tex]x + 2[tex]cos^{2}[/tex]x
[tex]\sqrt{3}[/tex]sinx - cosx =2 делим на 2 и получаваме : [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]sinx - [tex]\frac{1}{2}[/tex]cosx = 1 или cos([tex]\frac{\pi}{3}[/tex] +x) = -1
корените се определят от :[tex]\frac{\pi}{3}[/tex] + х =[tex]\begin{cases} \alpha_{0 } + 2k\pi\\ -\alpha_{0 } + 2k\pi \end{cases}[/tex] където [tex]\alpha_{0 }[/tex] = [tex]\pi[/tex]
1) [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] + х = [tex]\pi[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] от където х= [tex]\pi[/tex] - [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] = [tex]\frac{2\pi}{3}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] или х = 2[tex]\pi[/tex](k + [tex]\frac{1}{3}[/tex])
2)[tex]\frac{\pi}{3}[/tex] + x = -[tex]\pi[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] от където х = -[tex]\frac{4\pi}{3}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] или х =2[tex]\pi[/tex](k - [tex]\frac{2}{3}[/tex])

[S.B.]

има решения

https://intranet.fmi.uni-sofia.bg/index ... #pdfviewer

забелязвам, че с всяка изминала година нивото на трудност на изпита пада

За съжаление не само пада,а направо пропада!