Нуждая се от бърза помощ с няколко задачки

[Гост]

Здравейте, нуждая се от бърза помощ за няколко задачки

1 Задача: (x-1)^2-x=x(x-1)

2 Задача: x(x+1)+3>x^2

3 Задача: x^2-5x+6=0

4 Задача: 5x^2-3[tex]\ge[/tex]4x^2+5x-9

5 Задача: Ако x_{1 } и x_{2 } са корени на уравнението x^2+7x=4x+8 стойността на израза x_{1 }^2+x_{2 }^2 e?

6 Задача: \begin{array}{|l} 2x - 6 < 0 \\ 4x^2 \ge 9 \\ x^2+2x-3 > 0 \end{array}

и 7 Задача: x^4-5x^2+4 \ge 0

Благодаря предварително!

[Davids]

1) $(x-1)^2 - x = x(x-1)$
$\cancel{x^2} - 2x +1 \cancel{- x} = \cancel{x^2 - x}$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$

2) $x(x+1) + 3 > x^2$
$\cancel{x^2} + x + 3 > \cancel{x^2}$
$x > -3$

3) $x^2 - 5x + 6 = 0$
Типично квадратно уравнение. Дискриминанта $D = 5^2 - 4.1.6 = 1$
$x_1 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

4) $5x^2 - 3 \ge 4x^2 + 5x - 9$
$x^2 - 5x + 6 \ge$
Уравнението е буквално същото като от горната задача, корените са 2 и 3. По метода на интервалите достигаме до
$x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$

5) уравнението придобива вида $x^2 + 3x - 8 = 0$
$A = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = p^2 - 2q$, където $p = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -3$ и $q = x_1x_2 = \frac{c}{a} = -8$ (т.нар. формули на Виет). И оттам $A = 9 + 2.8 = 25$

6) [tex]\begin{array}{|l} 2x - 6 < 0 \\ 4x^2 \ge 9 \\ x^2 + 2x - 3 > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x < 3 \\ x \in (-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty) \\ x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) \end{array}[/tex]
По решаването на отделните неравенства няма нищо особено или по-различно от горните задачи. И понеже са в система, имаш да пресечеш трите интервала, т.е. да откроиш само общите им решения - получава се $x \in (-\infty; -3) \cup [\frac{3}{2}; 3)$

7) това е т.нар. биквадратен тричлен. Цялата философия се състои в полагането на $t = x^2 \ge 0$ и оттам получаваш:
$t^2 - 5t + 4 \ge 0$
Корени са $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$, откъдето и $x^2_1 = 1$ и $x^2_2 = 4$.
Следователно биквадратния тричлен се разлага на корени така:
$A = (t - t_1)(t - t_2) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)$ и получаваш две формули за съкратено умножение, които ти помагат да разложиш на множители:
$A = (x-1)(x+1)(x-4)(x+4) \ge 0$
Остана метода на интервалите. Първият знак е положители, наредените корени са $-4, -1, 1, 4$. Следователно $x \in (-\infty; -4] \cup [-1; 1] \cup [4; +\infty)$

И да седнеш да ги научиш, защото рядко ще си намериш ентусиасти да ти решават целите пазажи от задачи без усилие от твоя страна. Не са ти сложни нещата, убеден съм, че можеш