Затруднения с граница

[Гост]

Идеята е да се направи без Лопитал...
$lim_{x \to \infty}(sin\frac{1}{x} + cos\frac{1}{x})^x$

[Гост]

Моля ви, трябва ми спешно!

[Добромир Глухаров]

$\lim_{x\to\infty}\left(sin\frac{1}{x}+cos\frac{1}{x}\right)^x=\lim_{u\to0}\left(sinu+cosu\right)^{\frac{1}{u}}=$

$=e^{\lim_{u\to0}\frac{1}{u}\cdot ln(sinu+cosu)}=e^{\lim_{u\to0}\frac{1}{u}\cdot(lncosu+ln(tgu+1))}=$

$=e^{\lim_{u\to0}\frac{1}{u}\cdot(ln1+tgu)}=e^{\lim_{u\to0}\frac{1}{u}\cdot(0+u)}=e^1=e$

При $x\to0\Rightarrow cosx\sim1;\ tgx\sim x;\ ln(1+x)\sim x$

[pal702004]

$\frac 1 x=y$

$\lim\limits_{y\to 0^+} (\sin y+\cos y)^{\frac 1 y}$

$(\sin y+\cos y)^{\frac 1 y}=\left(\sqrt{1+\sin{2y}}\right)^{\frac 1 y}=(1+\sin{2y})^{\frac {1}{2y}}=$

$=(1+\sin{2y})^{\frac{1}{\sin{2y}}\cdot \frac{\sin{2y}}{2y}}$