Трапец

[Гост]

Здравейте.

Даден е трапец ABCD (AB||CD), за който AB [tex]\bot[/tex] AD, AD = CD, BC = 1 + 3^1/2 и ъгъл ABC = 60 . През точка D е построена права, успоредна на BC, която пресича AC в точка M. Да се намери периметърът на триъгълника CDM


Благодаря

[Davids]

$BC = 1 + 3^{\frac{1}{2}} = 1 + \sqrt{3}$, или?

[Гост]

Да, точно така, не успях да го направя с корен.

[Davids]

Много нелицеприятни сметкки получавам...
Ако спуснем $CH || AD$ при $H \in AB$, то тогава по определението за $sin\angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{CH}{1 + \sqrt{3}} \Rightarrow CH = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$.
Ще означим $CH = AD = DC = z = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$
Тогава $S_{ACD} = \frac{z^2}{2} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{8} = \frac{6 + 3\sqrt{3}}{4}$

И ще означим $S_{AMD} = x; S_{MCD} = y$. Имаме $\angle MDC = \angle ABC = 60^{\circ}$ и $\angle MDA = 30^{\circ}$. Тогава
$\frac{x}{y} = \frac{sin30}{sin60} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
А от изразеното лице горе имаме $x + y = \frac{6 + 3\sqrt{3}}{4}$

От тази система изразяваме лицето на нашия триъгълник: $y = \frac{9(2 + \sqrt{3})}{4(3 + \sqrt{3})}$

Сега ще означим двете страни, които не знаем:
$DM = m; CM = n$ и понеже $\angle ACD = 45^{\circ}$, то:
$\frac{m}{n} = \frac{sin45}{sin60} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Паралелно с това знаем лицето на този триъгълник, а то е равно на $y$. Но по формулата за лице от две страни и синус на ъгъла между тях имаме също, че
$y = \frac{mnsin75}{2} \Rightarrow mn = \frac{2y}{sin75} = \frac{9(2 + \sqrt{3})}{\sqrt{6}(5 + \sqrt{3})}$ по мои сметки.

От тази система изразяваме $m = \frac{\sqrt{6}n}{3}$ извеждаме $n^2 = \frac{3}{\sqrt{6}}.\frac{9(2 + \sqrt{3})}{\sqrt{6}(5 + \sqrt{3})} = \frac{9(2 + \sqrt{3})}{2(5 + \sqrt{3})} = \frac{9(7 + 3\sqrt{3})}{4.11}$

Откъдето и $n = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{7 + 3\sqrt{3}}{11}}$ и респективно $m = \frac{\sqrt{6}}{2}\sqrt{\frac{7 + 3\sqrt{3}}{11}}$

И окончателно обиколката $P_{CMD} = m + n + z = \frac{3 + \sqrt{6}}{2}\sqrt{\frac{7 + 3\sqrt{3}}{11}} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

[Гост]

Мерси! Аз се бех затрудних в намирането на z и мислех, че с подобни триъгълници ще излезе задачата, обаче тия гадни сметки верно са си умирачка.

[ева]

Аз получавам друг отговор.Нека правата DM пресича АВ в т.Р,а СН е височина на трапеца (т.Н лежи на АВ)
DM=a=? DC=b=? CM=c=? MP=m=?
[tex]\triangle[/tex]ACD-равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DAC=[tex]\angle[/tex]ACD=45[tex]^\circ[/tex] ; DP е успоредна на BC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]APD=[tex]\angle[/tex]ABC=60[tex]^\circ[/tex],тогава [tex]\angle[/tex]ADP=30[tex]^\circ[/tex]
PBCD е успоредник [tex]\Rightarrow[/tex] DP=BC т.е. a+m=1+[tex]\sqrt{3}[/tex] (1)

([tex]\triangle[/tex]MCD-cos T) [tex]a^{2}[/tex]=[tex]b^{2}[/tex]+[tex]c^{2}[/tex]-2bc.cos45[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^{2}[/tex]=[tex]b^{2}[/tex]+[tex]c^{2}[/tex]-[tex]\sqrt{2}[/tex]bc (2)

[tex]\triangle[/tex]APM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MCD (1признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{MP}{MD}[/tex]=[tex]\frac{AP}{CD}[/tex] ; mb=a.[tex]\frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex] (3) [AP е катет,който лежи с/у ъгъл от 30[tex]^\circ[/tex] ]
[sin T за [tex]\triangle[/tex]MCD] [tex]\frac{a}{sin45^\circ}[/tex]=[tex]\frac{c}{sin60^\circ}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] c=[tex]\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[/tex] (4)

Решавам с-та и получавам:a=[tex]\sqrt{3}[/tex],b=[tex]\frac{3+\sqrt{3}}{2}[/tex],c=[tex]\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex],m=1

[tex]P_{CDM }[/tex]=a+b+c=[tex]\sqrt{3}[/tex]+[tex]\frac{3+\sqrt{3}}{2}[/tex]+[tex]\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]=[tex]\frac{3(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)}{2}[/tex]