Триъгълник + вписана окръжност + медиана

[Гост]

В [tex]\triangle[/tex]ABC AB=5, [tex]\angle[/tex]ABC>90, а вписаната окръжност разделя медианата му AM (M [tex]\in[/tex] BC) на три равни части. Да се намери лицето на [tex]\triangle[/tex]ABC

[Гост]

От метрични зависимости и от Теоремата на Талес ми излезна, че ABM е равнобедрен и до там, не знам как да намеря AC

[S.B.]

Съжалявам,че не мога да направя чертеж,но чертай ти: [tex]\triangle[/tex]ABC,AB = 5,AM - медиана,M[tex]\in[/tex]BC;AM пресича окръжността в точки K и L,като АК = KL = LM = x ; Oкръжността се допира до AB в т.Т, до BC в т. P и до АC в т.Q;
Oт метричните зависимости :[tex]АТ^{2}[/tex] = AL.AK = 2x.x или [tex]AT^{2}[/tex] = 2[tex]x^{2}[/tex] и AT=x[tex]\sqrt{2}[/tex] , TB = 5 - x[tex]\sqrt{2}[/tex] тогава и BP = 5 - x[tex]\sqrt{2}[/tex];
Отново от метричните зависимости:[tex]MP^{2}[/tex] = MK.ML = 2x.x или MP = x[tex]\sqrt{2}[/tex] и тогава BM = 5 -x[tex]\sqrt{2}[/tex] + x[tex]\sqrt{2}[/tex] = 5, a понеже AM е медиана тогава BC = 10;
От свойството на допирателните от външна точка:AQ = AT = x[tex]\sqrt{2}[/tex] и PQ = PC = 5 + x[tex]\sqrt{2}[/tex]
и следователно AC = AQ + CQ = x[tex]\sqrt{2}[/tex] + 5 + x[tex]\sqrt{2}[/tex] или AC = 5 + 2x[tex]\sqrt{2}[/tex]; Използваш формулата за медианата:
[tex]m_{a }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}}{2}[/tex] ,където [tex]m_{a }[/tex] = 3x ,b = 5 + 2x[tex]\sqrt{2}[/tex] , a =10 и c = 5
От тук ще намериш x,а после AC = 5 +2x[tex]\sqrt{2}[/tex] и накрая S по Хероновата формула