Равнобедрен Триъгълник + вписана окръжност

[Гост]

В равнобедрен триъгълник ABC е вписана окръжност с център O. OA = 3[tex]\sqrt{5}[/tex], OC=5. Да се намерят дължините на страните на триъгълника.

[Петър Евгениев]

Untitled.png (22.53 KiB) Прегледано 1947 пъти

Ето чертеж за който ще я решава, че часът ми почва.

[Davids]

Ще ползвам горния чертеж, само че $h$ ще е $r$ (стандартно означение за радиус на вписаната окръжност). Също така острия ъгъл при основата ще означим с $\alpha$.
Първо ще се ползваме със свойството на ъглополовящата в $\Delta AHC$, според което:
$\frac{HO}{OC} = \frac{AH}{AC} \Leftrightarrow \frac{r}{5} = \frac{AH}{AC} = cos\alpha$ по определението за косинус в правоъгълния триъгълник.
Паралелно с това от правоъгълния $\Delta AHO$ имаме по определение за синус, че:
$sin\angle HAO = sin\frac{\alpha}{2} = \frac{r}{3\sqrt{5}}$

И сега ще ползваме формулата $cos\alpha = 1 - 2sin^2\frac{\alpha}{2}$. Получаваме квадратно уравнение:
$\frac{r}{5} = 1 - 2.\frac{r^2}{9.5}$
$\Leftrightarrow 2r^2 + 9r - 45 = 0$
Единствен положителен корен е $r = 3$, откъдето и $cos\alpha = \frac{3}{5}; sin\alpha = \frac{4}{5}$ и вече лесно по определението на тригонометричните функции намираме бедрото $b = 10$ и основата $a = 12$.