Вписана окръжност в триъгълник

[Гост]

Окръжност се допира до страните AB и BC на [tex]\triangle[/tex]ABC и до две от медианите на триъгълника. Ако AB = 2, да се намерят дължината на страната BC.

[Knowledge Greedy]

Задачата е шокова за силово смятане
Оказа се, че трябва да разгледаме нашата окръжност не само като вписана в четириъгълник - явната зависимост [tex]\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}m_c=\frac{1}{2}c+\frac{1}{3}m_a \,\ (\ast)[/tex]
но и като вписана във всеки от триъгълниците [tex]\triangle ABM[/tex] и [tex]\triangle BCN[/tex]

Пет пъти вписана.png (6.09 KiB) Прегледано 343 пъти

Ако разгледаме нашата окръжност като вписана в [tex]\triangle ABM[/tex] и в [tex]\triangle BCN[/tex], получаваме, че равенството [tex]BP=BQ[/tex] на допирателните от [tex]B[/tex] към нея, е равносилно на [tex]a-c=m_c-m_a \,\ (\ast \ast)[/tex]
Сега вече е ясно, че триъгълникът е равнобедрен и от [tex]AB=2[/tex] следва, че [tex]BC=2[/tex].
_____________________
Пояснения.
Осмокласниците навярно ще се нуждаят при годишния преговор от следните факти.
Стандартните означения на елементи в триъгълник: страни [tex]BC=a, \,\ AB=c[/tex], медиани [tex]AM=m_a, \,\ CN=m_c[/tex], допирателни и свойство на допирателни [tex]BP=BQ[/tex], но тук ... внимание (!)
[tex]BP=p_1- AM[/tex] и [tex]BQ=p_2- CN[/tex];
Имаме нови означения [tex]p_1=\frac{1}{2}(AB+BM+AM)[/tex] - полупериметърът на [tex]\triangle ABM[/tex]
и [tex]p_2=\frac{1}{2}(NB+BC+CN)[/tex] - полупериметърът на [tex]\triangle BCN[/tex] ;
Неизбежното свойство [tex]AG:GM=2:1=CG:GN[/tex] на медицентъра [tex]G[/tex].
След всичко това и очевидните [tex]BN=\frac{1}{2}a[/tex], и [tex]NB=\frac{1}{2}c[/tex], бързо получаваме [tex](\ast \ast)[/tex]
Необходимото и достатъчно условие, четириъгълникът [tex]BMGN[/tex] да е описан около окръжност, е [tex]NB+MG = MB+NG[/tex] и от него получаваме [tex](\ast)[/tex]

[ева]

Скрит текст: покажи

Аз не успях да я реша по стандартен начин и включих фантазията си.

За удобство ще ползвам чертежа на Професора.Нека окр. К(О;r) се допира до АВ,ВС,АМ и CN съответно в т.P,т.Q,т.E и т.T.
Нека NP=х,търсим ВС=а=?
Лесно намираме АМ=АЕ+ЕМ=(1+х)+([tex]\frac{a}{2}[/tex]+х-1)=[tex]\frac{a}{2}[/tex]+2х (1) ; CN=CT+TN=(а+х-1)+х=а+2х-1 (2)
Идеята е:Окръжността е вписана и в [tex]\triangle[/tex]АВМ и в [tex]\triangle[/tex]NBC.

[tex]\frac{S(ABM)}{p(ABM)}[/tex]=r=[tex]\frac{S(NBC)}{p(NBC)}[/tex]

[tex]\frac{\frac{S(ABC)}{2}}{\frac{1}{2}(2+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+2х)}[/tex]=[tex]\frac{\frac{S(ABC)}{2}}{\frac{1}{2}(1+a+a+2х-1)}[/tex]

2+а+2х=2а+2х

а=ВС=2

[inveidar]

Я сега да видим какво ще стане ако не са медиани, а ъглополовящи? Само това променяме в условието.

[ева]

Работя само с ъгли и получавам,че [tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] т.е. правата BG[tex]\bot[/tex]AC.
Щом правата BG е и ъглополовяща и височина [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВС е равнобедрен т.е. ВС=АВ=2

[inveidar]

Работя само с ъгли и получавам,че [tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] т.е. правата BG[tex]\bot[/tex]AC.
Щом правата BG е и ъглополовяща и височина [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВС е равнобедрен т.е. ВС=АВ=2

Така е. Ще напишеш ли решението?

[ева]

Не съм алчна и искам да дам възможност на другите да се изявят.
Ако никой не прояви интерес,ще я напиша.

[ева]

Нека BL е ъглополовящата в [tex]\triangle[/tex]АВС и ъглите му са-[tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex],[tex]\gamma[/tex].Ще докажем,че АВ=ВС.
([tex]\triangle[/tex]AGC) [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]+[tex]\angle[/tex]AGC+[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AGC=90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\frac{\beta}{2}[/tex] ; съседният му [tex]\angle[/tex]NGA=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\beta}{2}[/tex] (1)
(връхни са) [tex]\angle[/tex]NGM=[tex]\angle[/tex]AGC=90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\frac{\beta}{2}[/tex] ,а BG е ъглопол.на [tex]\angle[/tex]NGM [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BGN=[tex]\frac{90^\circ+\frac{\beta}{2}}{2}[/tex]=45[tex]^\circ[/tex]+[tex]\frac{\beta}{4}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]NBG) [tex]\angle[/tex]GNB+[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]+(45[tex]^\circ[/tex]+[tex]\frac{\beta}{4}[/tex])=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]GNB=135[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{3\beta}{4}[/tex]; съседният му [tex]\angle[/tex]ANG=45[tex]^\circ[/tex]+[tex]\frac{3\beta}{4}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]ANG) [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]+(45[tex]^\circ[/tex]+[tex]\frac{3\beta}{4}[/tex])+[tex]\angle[/tex]NGA=180[tex]^\circ[/tex] ... [tex]\angle[/tex]NGA=135[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]-[tex]\frac{3\beta}{4}[/tex] (2) [от (1) и (2) следва ]
90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=135[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]-[tex]\frac{3\beta}{4}[/tex] ... [tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] (3)
([tex]\triangle[/tex]ABL) [tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]+[tex]\angle[/tex]ALB=180[tex]^\circ[/tex] [ ползваме (3)] [tex]\angle[/tex]ALB=90[tex]^\circ[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] ъглополовящата BL е и височина [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АВС е равнобедрен т.е.АВ=ВС ; накрая ВС=2

Скрит текст: покажи

Не ми давайте точка.