Сфера в триъгълна призма

[Гост]

Сфера с радиус 2cm се допира до всички стени на правилна триъгълна призма. Да се намери обемът на призмата.

[Davids]

От дадения радиус на вписаната сфера можем да извлечем две неща:
1) радиусът на вписаната в основата окръжност е равен на радиуса на сферата;
2) височината на призмата (т.е. околният й ръб) е равна на диаметъра на сферата.

Понеже в равностранния триъгълник $r = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}$, то $a = 2\sqrt{3}r = 4\sqrt{3}$, следователно лицето е $B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$. И височината на призмата е $h = 2r = 4$. Окончателно обемът е $V = Bh = 12\sqrt{3}.4 = 48\sqrt{3}$