Окръжност в правоъгълен трапец

[Гост]

В правоъгълен трапец с остър ъгъл [tex]\alpha[/tex] и лице 16 е вписана
окръжност. Лицето на кръга, определен от тази окръжност, е: ?

[S.B.]

Нека трапецът е ABCD,с прави ъгли при А и D ,a [tex]\angle[/tex] B = [tex]\alpha[/tex];Нека вписаната окръжност има радиус = r; Тогава AD = 2r;
Нека окр. се допира в т.М ,N,P,Q съответно до AD,DC,CB и AB.
Oт свойството на допирателните следва:МD = DN = r;MA = AQ = r;NC = CP =x и QB = BP = y;
Получихме:AB = r + y ; BC = x + y ; DC = r + x;
Построявам CH[tex]\bot[/tex]AB ,CH = AD = 2r ; Oт [tex]\triangle[/tex]HBC : [tex]\frac{CH}{BC}[/tex] = sin[tex]\alpha[/tex] или CH = BC.sin[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 2r = (x + y).sin[tex]\alpha[/tex]
[tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]\frac{AB + CD}{2}[/tex].CH или 16 = [tex]\frac{r + x + r + y}{2}[/tex].2r [tex]\Leftrightarrow[/tex] [(x + y) + 2r].r = 16 [tex]\Leftrightarrow[/tex] (x + y)r = 16 - 2[tex]r^{2}[/tex]
Получихме : х + y = [tex]\frac{2r}{sin\alpha}[/tex] и х + y = [tex]\frac{16 - 2r^{2}}{r}[/tex] от където :[tex]\frac{2r}{sin\alpha}[/tex] = [tex]\frac{16 - 2r^{2}}{r}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2[tex]r^{2}[/tex] = 16sin[tex]\alpha[/tex] - 2[tex]r^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]
След преработка получаваме: 2[tex]r^{2}[/tex](1 + sin[tex]\alpha[/tex]) = 16sin[tex]\alpha[/tex] или [tex]r^{2}[/tex] = [tex]\frac{8sin\alpha}{1 + sin\alpha}[/tex]
Лицето на кръга е = [tex]\pi[/tex][tex]r^{2}[/tex] = [tex]\frac{\pi.8 sin\alpha}{1 + sin\alpha}[/tex]