Логаритмична задача

[Гост]

log2(x) . log3(x) . log5(x) = log2(x).log3(x) + log2(x).log5(x) + log3(x).log5(x)

2,3,5 са основите

[S.B.]

[tex]log_{2 }[/tex]x.[tex]log_{3 }[/tex]x.[tex]log_{5 }[/tex]x = [tex]log_{2 }[/tex]x.[tex]log_{3 }[/tex]x + [tex]log_{2 }[/tex]x.[tex]log_{5 }[/tex]x + [tex]log_{3 }[/tex]x.[tex]log_{5 }[/tex]x
Д.М.: x>0
Преминавам към основа 10: [tex]log_{2 }[/tex]x = [tex]\frac{lgx}{lg2}[/tex] , [tex]log_{3 }[/tex]x = [tex]\frac{lgx}{lg3}[/tex] , [tex]log_{5 }[/tex]x = [tex]\frac{lgx}{lg5}[/tex] и замествам в уравнението:
[tex]\frac{lgx.lgx.lgx}{lg2.lg3.lg5}[/tex] = [tex]\frac{lgx.lgx}{lg2.lg3}[/tex] + [tex]\frac{lgx.lgx}{lg2.lg5}[/tex] + [tex]\frac{lgx.lgx}{lg3.lg5}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{lg^{3}x}{lg2.lg3.lg5}[/tex] = [tex]\frac{lg^{2}x}{lg2.lg3}[/tex] + [tex]\frac{lg^{2}x}{lg2.lg5}[/tex] + [tex]\frac{lg^{2}x}{lg3.lg5}[/tex]
[tex]\frac{lg^{3}x}{lg2.lg3.lg5}[/tex] = [tex]lg^{2}[/tex]x.([tex]\frac{1}{lg2.lg3}[/tex] + [tex]\frac{1}{lg2.lg5}[/tex] + [tex]\frac{1}{lg3.lg5}[/tex]) делим двете страни на [tex]lg^{2}[/tex]x [tex]\ne[/tex]0 :
[tex]\frac{lgx}{lg2.lg3.lg5}[/tex] = [tex]\frac{1}{lg2.lg3}[/tex] + [tex]\frac{1}{lg2.lg5}[/tex] + [tex]\frac{1}{lg3.lg5}[/tex] ,привеждам под общ знаменател :
[tex]\frac{lgx}{lg2.lg3.lg5}[/tex] = [tex]\frac{lg5 + lg3 + lg2}{lg2.lg3.lg5}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] lgx = lg5 + lg3 + lg2 използвам свойството на логаритъма:
lgx = lg5.3.2 или lgx = lg30 [tex]\Rightarrow[/tex] x = 30

[Гост]

x=1 също е решение!

[S.B.]

x=1 също е решение!

Да,х=1 е очевидно решение,защото от свойствата на логаритмите за[tex]\forall а , log_{а } 1 =0[/tex]; Явно трябваше да отбележа и това решение.Благодаря!

[inveidar]

Едно по-просто решение.
ДМ: [tex]x>0[/tex]. Делим двете страни на уравнението на [tex]log_2x.log_3x.log_5x[/tex] при [tex]x\ne 1[/tex]!
Получаваме [tex]\frac{1}{log_5x}+\frac{1}{log_3x}+\frac{1}{log_2x}=1 \Leftrightarrow log_x5+log_x3+log_x2=1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow log_x30=log_xx\Leftrightarrow x=30[/tex]
Остава да проверим, че и [tex]x=1[/tex] също е решение.