Окръжност и секуща

[Гост]

Към окръжността к през външната за нея точка А са построени допирателните АB и АC. Произволна секуща през А пресича к в точките D и Е. Точка F принадлежи на к и е такава, че CF е успоpедна на АЕ. Ако BF пресича АЕ в точка М, да се докаже, че М е среда на хордата DЕ.

[inveidar]

Едно упътване като начало.
Докажете, че четириъгълникът [tex]MBAC[/tex] е вписан в окръжност.

[Гост]

Нека О е центърът на к. Триъгълниците ОBА и ОCА са еднакви (трети признак)[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BОА е 1/2 от [tex]\angle[/tex]BОC. [tex]\angle[/tex]BFC (вписан в k)=1/2 от [tex]\angle[/tex]BОC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BFC=[tex]\angle[/tex]BОА. Но [tex]\angle[/tex]BFC=[tex]\angle[/tex]ЕМF (кръстни), [tex]\angle[/tex]ЕМF=[tex]\angle[/tex]BМА (връхни) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BОА=[tex]\angle[/tex]BМА. АB се вижда под равни ъгли от О и М [tex]\Rightarrow[/tex] ОМBА е вписан [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ОМА=[tex]\angle[/tex]ОBА=90. Диаметър, перпендиkулярен на хорда, я разполовява [tex]\Rightarrow[/tex] М среда. Q.Е.D.