Четириъглник и ъгли

[Гост]

В четириъгълника АBCD АB=BC и [tex]\angle[/tex]АCD=[tex]\angle[/tex]АDB=30. Да се докаже, че [tex]\angle[/tex]CBD е три пъти по-голям от [tex]\angle[/tex]АBD.

[Гост]

тука шъ има скубанье, дранье и сранье!

[ева]

Ако около ABCD може да се опише окръжност,ще получим частен случай,при който ABCD е равнобедрен трапец и АВ=ВС=R.
Тогава вписания [tex]\angle[/tex]CBD=90[tex]^\circ[/tex],a вписания [tex]\angle[/tex]ABD=30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]CBD=3[tex]\angle[/tex]ABD

[Гост]

...и стриганье, баце!

zad.PNG (64.62 KiB) Прегледано 241 пъти

Нека продължението на височината BЕ в [tex]\triangle[/tex][tex]ABC[/tex] пресича CD в т. F. ABC е равнобедрен[tex]\Rightarrow[/tex]BЕ е ъглополовяща и медиaна. Ще докажем, че BI е ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]АBЕ. [tex]\angle[/tex]АFE=[tex]\angle[/tex]СFE=60 (еднакви триъгълници). Построяваме ъглополовящата FI на [tex]\angle[/tex]ВFА[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]BFI=[tex]\angle[/tex]АFI=[tex]\angle[/tex]АDI=30 [tex]\Rightarrow[/tex] АDFI е вписан. Нека описаната окръжност пресича ЕF в J. Понеже [tex]\angle[/tex]АDI=[tex]\angle[/tex]JFI=30 [tex]\Rightarrow[/tex] централните ъгли [tex]\angle[/tex]АОI=[tex]\angle[/tex]IОJ=60. [tex]\triangle[/tex]BАО[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]BJO (първи признак) [tex]\Rightarrow[/tex] BI е ъглополовяща [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]СBD=3[tex]\angle[/tex]АBD

https://www.youtube.com/watch?v=5JbX5q08kJI