Показателно неравенство

[hristian893]

Здравейте! Може ли малко помощ?
[tex]3.4^{x}+ 2.9^{x} - 5.6^{x} < 0[/tex]
Предварително благодаря!
Отначало се оправям с 4,6,9 понеже са прогресия, но накрая след полагането не ми се получава и търся вярното решение...

[Davids]

Положи $2^x = m$ и $3^x = n$ и ще получиш хомогенно неравенство, при което, като положиш по заучения начин, нещата се превръщат в квадратно неравенство за положена променлива $t = (\frac{2}{3})^x$. Ще се оправиш. А ако нещо, тук сме да помагаме

[S.B.]

Ето и друг начин да се справиш:
[tex]3.4^{х} + 2.9^{х} - 5.6^{х} < 0 \Leftrightarrow 3.2^{2х} - 5.2^{х}.3^{х} + 2.3^{2х} < 0[/tex] сега делиш на [tex]3^{2х} > 0[/tex] и получаваш:
[tex]3.(\frac{2}{3})^{2х} - 5.(\frac{2}{3})^{х} + 2 < 0[/tex] , полагаш [tex](\frac{2}{3})^{х} = t > 0[/tex] и получаваш:
[tex]3.t^{2} - 5.t + 2 < 0[/tex] и после е лесно - знаеш как

[Гост]

А накрая, за да се убедя какъв е отговора
[tex]x \in (-\infty ; 0) \cup (\frac{2}{3} ; 1)[/tex]

[hristian893]

Сега например стигам до t1 =1 и t2=2/3, определил съм си, че x е елемент от (2/3;1) или, че x>2/3, x<1
При връщане в полагането се обърквам...
[tex](\frac{2}{3})^x > \frac{2}{3}[/tex] нататък ако може някой да го обясни..

[S.B.]

Сега например стигам до t1 =1 и t2=2/3, определил съм си, че x е елемент от (2/3;1) или, че x>2/3, x<1
При връщане в полагането се обърквам...
[tex](\frac{2}{3})^x > \frac{2}{3}[/tex] нататък ако може някой да го обясни..

И така стигнахме до :[tex]3t^{2} - 5t + 2 < 0 , получаваме : t_{1 } = \frac{2}{3} , t_{2 } = 1[/tex]
[tex]3t^{2} - 5t + 2 = 3(t - 1)(t - \frac{2}{3}) < 0[/tex] Решаваме по метода на интервалите и получаваме: [tex]t \in (\frac{2}{3} , 1)[/tex]
или [tex]\frac{2}{3} < t < 1[/tex] и като върнеш субституцията [tex]t = (\frac{2}{3})^{x}[/tex] получаваш [tex]\frac{2}{3} < (\frac{2}{3})^{х} < 1[/tex]
Решаваш двете неравенства:
[tex]\frac{2}{3} < (\frac{2}{3})^{х} \Leftrightarrow (\frac{2}{3})^{1} < (\frac{2}{3})^{х} \Rightarrow х < 1[/tex] (защото основата е по-малка от 1)
[tex](\frac{2}{3})^{х} < 1 \Leftrightarrow (\frac{2}{3})^{х} < (\frac{2}{3})^{0} \Rightarrow х > 0[/tex] (отново защото основата е по-малка от 1)
Или окончателно от 0 < х < 1 [tex]\Rightarrow х \in (0 , 1)[/tex]

[Гост]

Отначало се оправям с 4,6,9 понеже са прогресия

каква прегресия са 4, 6 и 9

[hristian893]

Отначало се оправям с 4,6,9 понеже са прогресия

каква прегресия са 4, 6 и 9

Геометрична - 4.1,5=6 6.1,5=9

[hristian893]

Сега например стигам до t1 =1 и t2=2/3, определил съм си, че x е елемент от (2/3;1) или, че x>2/3, x<1
При връщане в полагането се обърквам...
[tex](\frac{2}{3})^x > \frac{2}{3}[/tex] нататък ако може някой да го обясни..

И така стигнахме до :[tex]3t^{2} - 5t + 2 < 0 , получаваме : t_{1 } = \frac{2}{3} , t_{2 } = 1[/tex]
[tex]3t^{2} - 5t + 2 = 3(t - 1)(t - \frac{2}{3}) < 0[/tex] Решаваме по метода на интервалите и получаваме: [tex]t \in (\frac{2}{3} , 1)[/tex]
или [tex]\frac{2}{3} < t < 1[/tex] и като върнеш субституцията [tex]t = (\frac{2}{3})^{x}[/tex] получаваш [tex]\frac{2}{3} < (\frac{2}{3})^{х} < 1[/tex]
Решаваш двете неравенства:
[tex]\frac{2}{3} < (\frac{2}{3})^{х} \Leftrightarrow (\frac{2}{3})^{1} < (\frac{2}{3})^{х} \Rightarrow х < 1[/tex] (защото основата е по-малка от 1)
[tex](\frac{2}{3})^{х} < 1 \Leftrightarrow (\frac{2}{3})^{х} < (\frac{2}{3})^{0} \Rightarrow х > 0[/tex] (отново защото основата е по-малка от 1)
Или окончателно от 0 < х < 1 [tex]\Rightarrow х \in (0 , 1)[/tex]

Супер! Много благодаря!!

[S.B.]

Отначало се оправям с 4,6,9 понеже са прогресия

каква прегресия са 4, 6 и 9

Необходимо и достатъчно условие три числа [tex]а_{1 },а_{2 },а_{3 }[/tex] ,в този ред да образуват геометрична прогресия е:
[tex](а_{2 })^{2} = а_{1 }.а_{3 }[/tex]
В случая 4,6,9 образуват геометрична прогресия защото [tex]6^{2} = 4.9[/tex]

[S.B.]

Супер! Много благодаря!!

Радвам се,че разбра задачата.Удоволствието е изцяло мое!