Тригонометрично уравнение

[S.B.]

Да се реши уравнението:
[tex]\frac{sinx}{(x - 4)^{2}} +[/tex]I[tex]sinx[/tex]I [tex]= 0[/tex]

[ptj]

Дефиниционна област: [tex]x\ne4[/tex]

Сумата на две положителни числа е винаги положителна, затова уравнениeто има решение само когато [tex]sin(x)\le0[/tex],
т.е. [tex]|sin(x)|=-sin(x)[/tex].

Даденото уравнение се трансформира в:
[tex]sin(x).\bigg(\frac{1}{(x-4)^2}-1\bigg)=0[/tex]

То има решения :
[tex]sin(x)=0\Leftrightarrow x=k\pi[/tex]
и
[tex]\frac{1}{(x-4)^2}-1=0\Leftrightarrow (x-4)^2=1\Leftrightarrow x=3[/tex] или [tex]x=5[/tex].

За намерените стойности на [tex]x[/tex] се връщаме да проверим ограничението [tex]sin(x)\le0[/tex]:
[tex]0=sin(\pi)<sin(3)<sin(\frac{\pi}{2})=1\Rightarrow[/tex] [tex]x=3[/tex] не е решение (намаляваща фукция).
[tex]-1=sin(\frac{3\pi}{2})>sin(5)>sin(2\pi)=0\Rightarrow[/tex] [tex]x=5[/tex] е решение (намаляваща функция).

Oтговор: [tex]x=5[/tex] или [tex]x=k\pi[/tex].

[S.B.]

Oтговор: [tex]x=5[/tex] или [tex]x=k\pi[/tex].

Отговорът в сборника е [tex]x \in[/tex]{[tex]5[/tex]}[tex]\cup[/tex]{[tex]k\pi[/tex]}, [tex]k[/tex]= +/-1,+/-2...
Упътването е:да се разгледат 2 случая: [tex]sinx\ge 0[/tex] и [tex]sinx < 0[/tex]

[ptj]

0-лата очевидно е решение и е изпуснато в сборника.

[S.B.]

0-лата очевидно е решение и е изпуснато в сборника.

Оценявам чувството Ви за хумор,но считам,че забележката Ви е насочена не към мен,а към авторите на сборника - Добромир Тодоров и Кирил Николов Колкото до моето мнение - аз също реших задчата,но разгледах двата случая за
I[tex]sinx[/tex]I - a именно [tex]sinx \ge 0[/tex] и [tex]sinx < 0[/tex] и за първия интервал получих [tex]x = k\pi[/tex] , а за втория ,както и Вие [tex]x = 5[/tex].Мисля,че би трябвало да се обединят двата отговора, а не или [tex]k\pi[/tex] или 5.Но това е мое лично мнение.Поздравлявам Ви за решението!

[ptj]

"или" е точно "обединение".

Няма как [tex]x=5[/tex] и [tex]x=k\pi[/tex], защото последното ще доведе до [tex]5=k\pi[/tex].