уравнение 2

[Гост]

Да се реши у-ето:

[tex](2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=10[/tex]

[Гост]

[tex]\frac{\sqrt{31}-4}{15}[/tex] и -[tex]\frac{4+\sqrt{31}}{15}[/tex] ли са корените

[S.B.]

Да се реши у-ето:

[tex](2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=10[/tex]

[tex](2x + 1)(3x + 1)(5x + 1)(30x + 1) = 10 \Leftrightarrow 900(x + \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3})(x + \frac{1}{5})(x + \frac{1}{30}) = 10 \Leftrightarrow 900(x + \frac{15}{30})(x + \frac{10}{30})(x + \frac{6}{30})(x + \frac{1}{30}) = 10 \Leftrightarrow 900[(x + \frac{15}{30})(x + \frac{1}{30})].[(x + \frac{10}{30})(x + \frac{6}{30})] = 10[/tex]
[tex]900(x^{2} + \frac{16}{30}x + \frac{15}{900})(x^{2} + \frac{16}{30}x + \frac{15}{900} + \frac{45}{900}) = 10[/tex]
Полагам: [tex]x^{2} + \frac{16}{30}x + \frac{15}{900} = y[/tex] и уравнението добива вида: [tex]900y(y + \frac{45}{900}) = 10[/tex]
[tex]900y(y + \frac{45}{900}) = 10 \Leftrightarrow 900y^{2} + 45y - 10 = 0 , D=1521, \sqrt{D} = 39 , y_{1 } = - \frac{2}{15} , y_{2 } = \frac{1}{12}[/tex]
Връщам субституцията:
[tex]x^{2} + \frac{16}{30}x + \frac{15}{900} = - \frac{2}{15} \Leftrightarrow 60x^{2} + 32x + 9 = 0 ,D = - 1136 < 0[/tex] няма реални корени;
[tex]x^{2} + \frac{16}{30}x + \frac{15}{900} = \frac{1}{12} \Leftrightarrow 15x^{2} + 8x -1 = 0 ,D = 124 , \sqrt{D} = 2\sqrt{31}[/tex]
[tex]x_{1 } = \frac{- 4 + \sqrt{31}}{15} ; x_{2 } = \frac{- 4 - \sqrt{31}}{15}[/tex]